Quadratzahlen

[Kolabord]

Wie viele ganze Zahlen zwischen 1 und 100 (jeweils einschließlich) ergeben, potenziert man sie mit sich selbst, eine Quadratzahl. Sprich: Für wie viele n gilt n^n ist eine Quadratzahl?

[Otmar]

Hallo Kolabord,

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Machen wir eine Quadratzahl daran fest, dass alle Primfaktoren gradzahlig auftreten, dann ist n^n eine Quadratzhal, genau dann wenn n eine Quadratzahl ist oder n eine gerade Zahl ist. Da wir von 1..100 10 Quadratzahlen haben und 50 gerade Zahlen, wobei 5 sowohl Quadratzahl als auch gerade Zahl sind, gibt es

10 + 50 - 5 = 55

Zahlen, bei denen n^n Quadratzahl ist.

Lg Otmar

[black]

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a^a = b^2 <=> a^(a/2)=b

==> Alle gerade a aus N[1;100] (50 Stck) und alle ungerade a aus N[1;100], die selbst Quadratzahlen sind (also die Quadrate von 1,3,5,7,9) erfüllen die Bedingung.

Insgesamt also 55 Zahlen aus N[0;100].

[Phoenix]

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Also als erstes alle geraden Zahlen, da x^(2n) = (x^n)^2, das waeren dann 50. Dazu kommen noch die ungeraden Quadratzahlen (die geraden habe ich ja schon gezaehlt), das sind 5 (1, 9, 25, 49, 81), weil (x^2)^(x^2) = (x^(x^2))^2, und ihre (bis auf die eins) Vielfachen ((18...), 27, 45, 63, (81), 99, 75) => 5 (Glaube ich jedenfalls, auf einen Beweis komme ich gerade nicht). Das sind dann 60, die ich zu bieten habe

[Vana]

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Bitte nicht auslachen, ich glaub ich hab die Frage falsch verstanden, aber vielleicht 10 ?

[Friedel]

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Eine Zahl ist eine Quadratzahl, wenn jeder ihrer Primfaktoren in einer geraden Anzahl enthalten ist. Das ist bei aⁿ immer dann der Fall, wenn n gerade ist oder wenn a eine Quadratzahl ist. Im beschriebenen Zahlenbereich sind also die 10 Quadratzahlen 1², 2², 3² … 10^10 und die 50 Potenzen aller geraden Zahlen. Da die erste Zahlengruppe 5 gerade Zahlen enthält, sind das zusammen 55 Zahlen.

[Vana]

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Oh mann, ich hab mich völlig zum deppen gemacht! Hab die frage falsch verstanden...

[Phoenix]

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Oh mann, ich hab mich völlig zum deppen gemacht! Hab die frage falsch verstanden...

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Hmm, ich habe es auch geschafft, den Taschenrechner falsch zu bedienen Auf einmal geht es mit der 15 nicht mehr auf

[Kolabord]

Bei diesem Rätsel gibt es ja gleich eine ganze Menge Rückmeldungen. Das freut mich ausserordentlich.
Da eure Lösungen nicht alle gleich sind, sind auch nicht alle Lösungen richtig, aber doch einige:
Otmar, Black und Friedel: Ihr habt beide völlig recht mit euren Lösungswegen und somit auch mit den Lösungen.
Phoenix:

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Die Vielfachen der ungeraden Quadratzahlen erfüllen die Bedingung nicht, deshalb hast du dich wohl um 5 verzählt.

Vana: In der tat scheinst du die Frage falsch verstanden zu haben. Dafür lache ich dich natürlich nicht aus, aber ich kann dir auch nicht sagen, wo dein Fehler liegt, da du keinen Lösungsweg angegeben hast.

[Otmar]

Hallo Black und Friedel,

Otmar, Black und Friedel: Ihr habt beide völlig recht mit euren Lösungswegen und somit auch mit den Lösungen.

wir beide habens richtig!

Frag mich gerade ob zwei von uns mit einem Account auftreten? Oder brauchen wir für Kolabord noch eine kleine Extraeinheit Denksport, dass es mit dem Zählen besser wird
Danke Kolabord, war ein schönes Zahlenrätsel

Lg Otmar