Magisches Quadrat zum Multiplizieren

[Otmar]

Man denke sich alle Dezimalzahlen mit genau 5 verschiedenen Ziffern und streiche davon all jene, die wenigstens eine Ziffer, die sich ohne Rest durch 5 teilen lässt, enthalten. Die Anzahl der verbliebenen Dezimalzahlen ist das Produkt aus vier Zahlen jeder Reihe (Zeilen, Spalten und Diagonalen) des gesuchten 4x4 Felder großen magischen Quadrates. Wer findet eine mögliche Füllung des Quadrates mit 16 verschiedenen positiven ganzen Zahlen?

[Neuling]

Hallo Otmar!
Bitte die Spoilersperrfrist verlängern!

Aber erste Gedanken habe ich mir schon gemacht:

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Es gibt 10 verschiedene Ziffern ( 0 bis 9 ).
0 und 5 sind durch 5 ohne Rest teilbar. Bleiben 8 Ziffern.
Aus 8 Ziffern lassen sich 8*7*6*5*4 = 6720 verschiedene, fünfstellige Zahlen bilden.
6720 ist nun das Produkt aus 4 Zahlen einer Reihe eines magischen Quadrates.
6720 = 1*2*2*2*2*2*2*3*5*7
Daraus muss ich jetzt 16 verschiedene Zahlen bilden und finden, die für ein magisches Quadrat geeignet sind.
Jede Zahl eines magischen Quadrates gehört zu zwei (Zeile, Spalte) oder drei (Zeile, Spalte, Diagonale) Reihen.
Die kleinste mögliche Gruppe (1, 2, 3, 1120) entfällt daher. Die danach kleinsten 2 Gruppen wären dann
(1, 3, 4, 560) und (1, 2, 6, 560) Aber auch die entfallen, weil sie zwei gleiche Zahlen enthalten. Weiter bin ich mit meinen Überlegungen noch nicht.

[Neuling]

@ Otmar - Danke für's Verlängern der Sperrfrist!

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Eben noch geglaubt, dass mir auch 72 Stunden zur Lösungsfindung nicht reichen werden, kam plötzlich die Erleuchtung und dann habe ich ziemlich schnell ein Ergebnis erzielt.
Lösungsweg liefere ich später nach.

Magisches Produktquadrat.gif (4.04 KiB) 997-mal betrachtet

So, jetzt ist später.

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Nachdem ich meine Gruppenbildung zunächst weiter fortgesetzt hatte, um so den möglichen größten Wert im Quadrat zu bestimmen, glaubte ich mit (1, 3, 16, 140) und (2, 4, 6, 140) einen ersten Ansatz gefunden zu haben. Er passte auch ins Quadrat.
2 / 140 / 4 / 6
x /..16 / x / x
x / ...1 / x / x
x / ...3 / x / x
Beim weiteren Rumprobieren stellte ich fest, dass in jeder Zeile, Spalte und Diagonalen der Faktor 3, 5 und 7 nur je einmal vertreten sein darf. Die nächste Überlegung war, kann ich diese 3*5*7= 105 in eine Zahl packen und als 105, 210, 420 und 840 ins Quadrat einbauen. Die Vorüberlegungen hatten aber ergeben, für 840 bräuchte ich 1, 2, 4 als weitere Faktoren und für 420 die 1, 2, 8 ---> Widerspruch
Dann kam mir die Idee, erst mal ein Quadrat zu erstellen, in welchem die Ziffern 1, 3, 5, 7 in jeder Reihe genau einmal stehen.
1 3 5 7
7 5 3 1
3 1 7 5
5 7 1 3
Somit hatte ich als Produkt schon mal überall 105.
6720 / 105 = 64
64 = 1*2*4*8 ---> Bingo, denn das heißt, eine 1 (3, 5, 7) kann ich jeweils so lassen und die anderen durch Multiplikation mit 2, 4 und 8 verändern. Dabei darf wieder in jeder Reihe jeder Faktor nur einmal erscheinen.
1 2 4 8
4 8 1 2
8 4 2 1
2 1 8 4
Jetzt brauchte ich nur noch die sich entsprechenden Felder zu multiplizieren und erhielt eine Lösung.

[Otmar]

Sehr schöne Lösung! an Neuling.

Da Neuling schon ähnliche Überlegungen aufgeschrieben hat, wie ich sie beim Erstellen des Rätsels hatte, kann ich mir noch etwas Zeit lassen, meine Lösung aufzuschreiben.

[Otmar]

Lösung Teil 1:

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Am Ende verbleiben alle fünfstelligen Zahlen aus den acht Ziffern 1,2,3,4,6,7,8,9, da 0 und 5 bei Division durch 5 keinen Rest lassen. Für die Einerstelle hat man 8 Möglichkeiten eine Ziffer zu wählen, für die Zehnerstelle verbleiben danach 7 Möglichkeiten, und so weiter bis zur höchstwertigen Ziffer mit 4 Möglichkeiten. Also ist die Anzahl der verbleibenden Zahlen 8*7*6*5*4=2³*7*(2*3)*5*2²=2^6 * 3 * 5 * 7. Und das ist das Reihenprodukt, in dessen Primfaktorzerlegung die Primzahlen 3, 5 und 7 genau einmal vorkommen. Es muss also in jeder Zeile, Spalte und Diagonale je eine dieser drei Primzahlen genau einmal vorkommen. Bis auf Drehungen und Spiegelung gibt es nur eine Anordnung für die Plätze einer einfach vorkommenden Primzahl, die man ohne Aufwand finden kann. Sie ist im unten eingefügten Bild links dargestellt. Die vier Felder sind durch halbe Pfeile markiert. Die folgenden Bilder ergeben sich durch Drehung um 180°, Spiegelung und Drehung um 90° des vorherigen Bildes und Überlagerung mit dem vorherigen Bild. Ganz rechts erhält man alle 8 möglichen Anordnungen für einfache Primzahlen, jede Anordnung durch gleichartige Pfeile markiert.

drehungen_spiegelung.png (2.63 KiB) 981-mal betrachtet

Lösung Teil 2:

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Vergibt man für jeden der acht Pfeile eine beliebige Zahl, und multipliziert diese Zahlen, dann entsteht ein Produkt, das dem Reihenprodukt jeder Reihe des magischen Quadrates entspricht. Im rechten Bild sieht man, dass jedes Feld genau zwei Pfeile, einen senkrechten und einen waagerechten enthält. Die einzelnen Felder können also mit Produkten aus genau zwei Pfeilzahlen gebildet werden. Diese Produkte sind in der nächsten Grafik als Farbfelder in ein anderes Quadrat (die beiden linken in der Grafik) eingetragen, wobei dort jede Zeile als Faktor die Zahl eines senkrechten Pfeils hat und jede Spalte die Zahl eines waagerechten Pfeils hat. Entsprechend der Pfeilorientierung sind die 16 Produktfarben ins magische Ausgangsquadrat, das im ersten Bild ganz rechts war, eingetragen. Wenn man nun beispielsweise den senkrechten Pfeilen die Zahlen 1, 2, 4 und 8 gibt und den waagerechten Pfeilen die Zahlen 1, 3, 5 und 7, dann erhält man 16 verschiedene Zahlen in den farbigen Feldern, da in den Zahlen unterschiedlicher Zeilen der Primfaktor 2 in unterschiedlicher Anzahl auftritt und sich die Primfaktorzerlegung in den Zahlen unterschiedlicher Spalten bezüglich des Auftretens einer oder keiner der Primzahlen 3, 5 und 7 unterscheiden. Trägt man jetzt die durch Farben markierten Produkte in das magische Quadrat ein, kommt man zur Lösung unten rechts.

produktquadrat2.png (14.49 KiB) 981-mal betrachtet

Natürlich kann man die Zahlenvergabe auf waagerechte und senkrechte Pfeile tauschen und auch die Verteilung der Zahlen innerhalb der waagerechten bzw. senkrechten Pfeile frei wählen, was zu weiteren Lösungen führt.