Die magische 42

[Otmar]

Gesucht ist eine im Dezimalsystem 42 stellige Quadratzahl, die ein Vielfaches von 42 ist und bei der die Ziffernfolge der vorderen 21 Ziffern mit der Ziffernfolge der hinteren 21 Ziffern übereinstimmt.

Es ist möglich, das Rätsel ohne Rechenhilfen, also nur mit Papier und Stift zu lösen.

[Neuling]

Uff

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Vielleicht erfüllt diese Zahl die geforderten Bedingungen:

734693877551020408164734693877551020408164

[Neuling]

Nach einigen, wegen Irrtums auch unnötig durchgeführten Rechenoperationen

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hier noch ein paar Eckdaten meines Lösungsweges:
Zahl muss duch 1000000000000000000001 teilbar sein.
Wegen Quadratzahl und teilbar durch 42, müssen die Primfaktoren 2, 3 und 7 doppelt enthalten sein.
1000000000000000000001 ist weder durch 2 noch durch 3 teilbar, dafür aber durch 7*7 = 49
1000000000000000000001 / 49 * 36 = 734693877551020408164 sind die ersten 21 Ziffern der gesuchten Zahl.
1000000000000000000001 / 7 * 6 = 857142857142857142858 ist die Zahl, die quadriert die gesuchte 42stellige Zahl ergeben soll. Die Probe habe ich aber nicht durchgeführt und hoffe einfach, dass in meinen Überlegungen kein Denkfehler drin ist.

[Otmar]

Neuling, du bist ist eine echte Zahlenfee und hast dich von den 42 Ziffern nicht erschrecken lassen! Deine Lösung ist richtig.


Hier ein möglicher Lösungsweg:

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Wenn Q die gesuchte Zahl ist, dann gilt

Q = 10­²¹a + a = (10­²¹+1)a wobei a eine 21 stellige Zahl ist. Da Q eine Quadratzahl ist, tritt in der Primfaktorzerlegung von Q jede Primzahl mit gerader Vielfachheit auf. Sei b = 10­²¹+1 dann ist Q = a*b mit a < b-1. Wenn b nun q * c ist, wobei q die größte Quadratzahl ist, die auch ein Teiler von b ist, dann muss a ein Vielfaches von c sein, weil sonst Q keine Quadratzahl ist. Wegen a < b ist deshalb c < b und q > 1. Da b ungerade ist und wegen der Quersumme 2 nicht durch 3 teilbar ist und bei Division durch 5 den Rest 1 lässt, ist der kleinste nächste Kandidat für q = 7².

Probe:

10­²¹= 10 x 2¹º x 50¹º. Da 50 bei Division durch 7²=49 den Rest 1 lässt, ist der Rest von 10­²¹ und der Rest von 10 x 2¹º = 10240 bei Division durch 49 gleich. 10240 lässt bei Division durch 49 den Rest 48 und deshalb ist b = 10­²¹+1 ohne Rest durch 49 teilbar. Um die Bedingungen an Q zu erfüllen, kann man a=c b/49 wählen, wobei man für c eine Quadratzahl nimmt, so dass a 21 Stellen bekommt. D.h. c ist eine der Zahlen: 9, 16, 25 oder 36. Dann erhält man für
Q=b (c (b/49)).
Da b weder durch 2 noch durch 3 teilbar ist, kommt für c nur 36 in Frage, da Q sonst nicht durch 42 = 2 x 3 x 7 teilbar wäre. Da b durch 7 teilbar ist, ist Q durch 42 teilbar und erfüllt alle Bedingungen von oben.

Q=36 x (10­²¹+1)² / 49

a = 36 x (10­²¹+1)/49. Die Berechnung mit Stift und Papier war für mich in der Form:
a = (72 x (10­²¹+1))/98 etwas einfacher:

.
  72000000000000000000072 : 98 = 734693877551020408164   
  ———
   340
   ———
    460
    ———
     680
     ———
      920
      ———
       380
       ———
        860
        ———
         760
         ———
          740
          ———
           540
           ———
            500
            ———
             100
             ———
               20
               ——
               200
               ———
                 40
                 ——
                 400
                 ———
                   80
                   ——
                   800
                   ———
                    160
                    ———
                     627
                     ———
                      392

(Unter die drei Striche schreibt man jeweils die darüber stehende Zahl ohne Hunderter (die wandern ins Ergebnis) und addiert das doppelte der Hunderterziffer. Danach holt man die neue Einerstelle von oben.)

Tatsächlich ist die gefundenen Zahl Q auch die einzig mögliche , da die Primfaktorzerlegung von
b=10­²¹+1=7² x 11 x 13 x 127 x 2689 x 459691 x 909091
ist, und 49 die größte Quadratzahl unter den Teilern von b ist.
Zum Beweis der Eindeutigkeit der Lösung braucht man für obige Primfaktorzerlegung wohl doch etwas Rechentechnik.

Das Ergebnis:

Q = 734693877551020408164734693877551020408164

Eine Randnotiz:

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Wenn nur eine Quadratzahl mit wiederholter Ziffernfolge gesucht wäre, dann hätten die kleinsten Ergebnisse 22 Stellen, da 10¹¹+1 durch 11² teilbar ist und keine kleinere Zahl der Form 10...01 durch ein Primzahlquadrat teilbar ist. Nach den 22 stelligen Lösungen würden schon die 42 stelligen kommen.
Somit hat die kleinste durch 42 teilbare Quadratzahl mit einmal wiederholter Ziffernfolge auch 42 Stellen. (Die 22 stelligen sind nicht durch 42 teilbar.) Mit der Frage nach dieser Stellenzahl hätte man auch eine schönes Rätsel machen können, nur wäre dann viel Papier und viel Stift nötig gewesen, um die Lösung zu begründen.