Adventskalendertürchen

[Otmar]

Nicht nur hier in Forum wird ein Adventskalender gebastelt, auch die Weihnachtswichtel arbeiten jetzt im Hochbetrieb.

Anton hat die Besprechung der Wichtel mit dem Nikolaus verpasst und weiß nun nicht, für welches der 24 Türchen im Adventskalender er in diesem Jahr zuständig ist. Er fragt die anderen Wichtel nach der Zahl auf seiner Kalendertür und erhält drei Antworten:

Quartus sagt: "Es ist eine Quadratzahl."
Umbärtus sagt: "Es ist eine ungerade Zahl." und
Paul sagt: "Es ist eine Primzahl."

Zum Glück hat Anton erkannt, ob ein Wichtel gelogen hat oder die Wahrheit sprach. Denn Wichtel bekommen eine rote Nasenspitze, wenn sie lügen. Anton weiß nun für welches Türchen er ein Bildchen malen wird und eine Süßigkeiten beim Weihnachtsbäcker bestellen muss.
Wisst ihr es jetzt auch?


Edit: Text etwas verbessert, so dass deutlich wird: Anton sieht von allen drei Wichteln die Nasenspitze.

[Claudi]

Dürfen wir auch mal die Nasenspitzen der Wichtel sehen?

Mehr ->

1. Wenn Anton jetzt Bescheid weiß, könnte es die 9 sein, und Paul hat gelogen. Primzahlen und ungerade gäbe es mehrere, so dass Anton nicht sicher sein könnte, falls Quartus gelogen hätte. Umbärtus kann nicht als einziger lügen. Eine Quadratzahl und Primzahl gibt es nicht.

2. Wenn zwei Wichtel lügen: Q und U ergäbe eine gerade Primzahl, dann ist es die 2. Für Q und P oder U und P gibt es wieder viele Möglichkeiten und Anton wäre nicht sicher.

3. Wenn alle drei lügen, ist es eine gerade Zahl, weder Quadrat-, noch Primzahl und Anton kommt auch nicht auf eine eindeutige Zahl.

Es könnten also die 9 oder die 2 sein.

[Neuling]

Mehr ->

Nein, ich weiß es leider nicht!

[ginger]

Hm ...

Mehr ->

... ich denke, nur wenn Paul als einziger Wichtel die Wahrheit sagt, ergibt sich eine eindeutige Zahl, nämlich die 2 (weder eine Quadratzahl noch ungerade, aber eine Primzahl).

Demnach wäre Anton für das Türchen Nummer 2 zuständig.

[Julien]

Hm...

Mehr ->

Also entweder ist das Rätsel uneindeutig oder ich steh auf dem Schlauch.
Die Quadratzahlen sind 1, 4, 9 und 16.
Die Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 und 23.
Die ungeraden Zahlen sind ja klar.
Wenn also das mit den Quadratzahlen gelogen war, dann können es die Türchen 3, 5, 7, 11, 13, 17 und 23 sein. Also nicht eindeutig.
Wenn das mit den Primzahlen gelogen war, dann können es die Türchen 1 und 9 sein. Also auch nicht eindeutig.
Wenn das mit den ungeraden Zahlen gelogen war, dann können es gar keine Türchen sein, weil keine Quadratzahl eine Primzahl ist.
Somit komme ich auf keine Lösung. Oder ich stehe halt auf dem Schlauch.
Mal sehen, was die Lösung ist!

LG Julien

EDIT:

Mehr ->

Mir fällt jetzt erst auf, dass nicht klar ist, ob und wieviele Wichtel lügen. Also überlege ich nochmal neu. Außerdem merke ich, dass ich bestimmt einen Denkfehler bei den gelogenen Aussagen habe...
Ich steh halt wirklich auf dem Schlauch!

[Friedel]

Mehr ->

Folgende Möglichkeiten gibt es:

.         | Möglichkeit
Name      | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
.         |   |   |   |   |   |   |   |   |
Quartus   | l | l | l | l | w | w | w | w |
Umbärtus  | l | l | w | w | l | l | w | w |
Paul      | l | w | l | w | l | w | l | w |

Dabei steht ein l für eine Lüge und ein w für eine wahre Aussage.

Natürlich können nicht Quartus und Paul beide die Wahrheit gesagt haben, denn eine Quadratzahl ist nie eine Primzahl. Das schließt Möglichkeit 4 und 8 aus.

Wenn alle 3 lügen, kommen alle geraden Zahlen außer der 2, 4 und 16 infrage. Das sind 9 Möglichkeiten. Anton könnte also nicht wissen, welches die richtige Zahl ist.

Wenn nur Quartus die Wahrheit sagt, bleiben die Zahlen 4, 9 und 16. Auch das sind mehrere Möglichkeiten.

Wenn nur Umbärtus die Wahrheit sagt, bleiben alle gerade Zahlen. Auch das sind mehrere Möglichkeiten.

Wenn nur Paul die Wahrheit sagt, muss es eine gerade Primzahl sein. Dann hat Anton die Tür Nummer 2.

Wenn Quartus lügt, kommen noch die Zahlen 3, 5, 7, 11 usw infrage.

Wenn Paul lügt, kommen noch alle ungeraden Quadratzahlen bis 24 infrage. Auch das sind noch 2 Möglichkeiten.

Da es nur eine Möglichkeit gibt, bei der Anton seine Zahl erkennen kann, weiß ich auch welche das ist.

[Neuling]

Mehr ->

Ja, Otmar, die neue Formulierung des Aufgabentextes ist für mich eindeutiger.
Und ich hoffe mal, dass Anton für das Türchen Nr. 2 ein Bildchen malt.

[Claudi]

Puh, das ging ja gerade nochmal gut!

Mehr ->

Ich hatte die 1 als ungerade Quadratzahl vergessen. Das Türchen Nr. 2 ist also das richtige und Quartus und Umbärtus haben rote Nasen.

[Half-Eye]

Wenn ich dich richtig verstanden habe,

Mehr ->

weiß man, welches Türchen man bearbeiten muss, wenn man weiß, wer die Wahrheit sagt und wer lügt. Also gehe ich mal davon aus:

Alle drei sagen nicht die Wahrheit, da sich die Aussagen zum Teil gegenseitig ausschließen.

Wenn Quartus und Umbärtus die Wahrheit sagen würden, wären die Türchen 1 und 9 möglich. Dies ist aber nicht eindeutig, also wird es auch nicht der Fall sein.
Quartus und Paul können nicht beide die Wahrheit sagen, da es dort keine Schnittmenge gibt.
Wenn Umbärtus und Paul die Wahrheit sagen würden, wären die Türchen 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 und 23 möglich. Dies ist aber nicht eindeutig, also wird es auch nicht der Fall sein.

Also sagt nur einer die Wahrheit.
Wenn es Quartus wäre, wären immer noch die Türchen 4 und 16 möglich. So ist es also nicht.
Wenn es Umbärtus wäre, wären immer noch die Türchen 15 und 21 möglich. So ist es also nicht.
Wenn es aber Paul wäre, wäre nur die Tür Nr. 2 möglich, da es eine Primzahl ist, die aber weder eine Quadratzahl noch ungerade ist.
Also:

Nur Paul sagt die Wahrheit.

Es ist Türchen 2.

[Otmar]

Heute darf ich gleich fünfmal gratulieren. Ginger, Friedel, Neuling, Claudi und Half-Eye haben richtig gelöst.

Auf eine eigene Lösung kann ich getrost verzichten und verweise auf die ausführlichen Beschreibungen bei Friedel und Half-Eye.