Rätsel + Denksport Forum

[smonkey]

Hallo liebe Rätselfreunde,

ich bin begeisterter Zahlenrätsel-Löser. Ich kann kein Sudoku & Co. ungelöst lassen. Jetzt habe ich aber ein vermeintlich recht einfaches Rätsel in die Finger bekommen. Finde aber keinen logischen Ansatz wie das zu lösen wäre.

Reines ausprobieren (Brute-Force) ist mir zu anspruchslos und langweilig bei theoretisch bis zu 362'880 Möglichkeiten. Dafür habe ich zum Schluss ein Programm geschrieben dass mir die richtige Lösung ausgibt (a=8, b=3, c=6, d=5, e=7, f=1, g=4, h=2, j=9).

In gewissem Rahmen lässt sich das Ganze ja logisch eingrenzen. z.B. muss a) min. 3 aber max. 8 sein, daher kann b) max. 6. sein usw. Allerdings lässt das immer noch viel zu viele Möglichkeiten offen.

Sehe ich einfach den Wald vor Bäumen nicht (das ist ja eigtl. Grundschul-Mathematik), oder lässt sich dieses Rechenquadrat nicht ohne weiteres logisch lösen?

Vielen Dank!

Edit: Noch ein kleiner Hinweis. Die Anforderungen an das Rätsel sind, die Felder a-j mit den Zahlen 1-9 aufzufüllen, dabei darf jede Zahl aber nur einmal vorkommen und keine negativen Zwischensummen entstehen.

[Hans-Peter]

Hi,

das ist so was wie ein Magic-Mathematical-Square, wo auch negative Zahlen möglich sind und alle vier Operatoren, +, -, * und /.
Davon habe ich schon etliche hier gemacht. Aber welche mit 4 Zeilen, 4 Spalten und 16 Parametern, was nicht nur 9! theoretische Möglichkeiten hat, sondern 16!.
Da braucht man schon einen Algorithmus, der alles gewaltig eindampft. Weil, wenn ich das überprüfe, muß ich schon alle möpglichen Möglichkeiten durchrechnen. Schau Dir doch mal etliche MMS hier an. Wenn Du interessiert bist, sage ich Dir natürlich gern, wie ich es gemacht habe.
Dazu empfehle ich, alles per PN's zu machen, um das Forum nicht unnötig zuzustopfen.

Horridoh, H.-P.

[Friedel]

Dazu empfehle ich, alles per PN's zu machen, um das Forum nicht unnötig zuzustopfen.

??? Warum das? Soll das dann jeder machen, der sich dafür interessiert? Ich schlage das Gegenteil vor. Ich schlage vor, das alles hier in diesem Thread zu machen, damit es von Interessierten mitgelesen werden kann (oder später nachgelesen werden kann).

[Hans-Peter]

Hi Friedel,

das mach ich doch gern.
Beim erdichten von so nem Viereck muss ich natürlich alle Möglichkeiten abdecken.
Und das ist doch recht umfangreich. Wenn mans denn nicht entsprechend eindampft.
Aber dann ist es geradezu trivial.
Ein paar Zeilen der Erklärung sinds aber doch.
Am WE schreib ich's dann. Versprochen.

H.-P.

[Hans-Peter]

Hi,

wie ich so ein MagicMathematicalSquare entwickle oder löse, wollte ich doch an dem WE sagen.
Dazu nehm ich das Beispiel MMS11, das hier in dem Forum schon mal behandelt wurde.

mms11.png (2.29 KiB) 216-mal betrachtet

Die Lösung sieht dann, nur zur Information, so aus:

mms11solution.png (2.87 KiB) 216-mal betrachtet

Natürlich weiß ich die Lösung nicht, wenn ich das MMS selber lösen soll.
Also nehme ich nur mal die Zeile 1.
Da habe ich vier Parameter, die alle 1, 2, 3, ..., 16 sein können, wobei natürlich keine Zahl doppelt vorkommen darf.
Die Parameter sind also z.B. P1, P2, P3 und P4.
Diese lasse ich in 4 ineinandergeschahtelten Schleifen von 1 is 16 durchlaufen, schaue, ob ein Parameter doppelt (oder mehrfach) vorkommt, und kriege so ein paar ganz wenige Parameter, mit denen ich weiter rechnen kann.
Denn nur diese Zusammenstellungen sind überhaupt sinnvoll. Eine dieser Lösungen muß es dann sein.
Hier wäre möglich z.B.
08, 10, 02, 13 oder
08, 15, 03, 13 oder
13, 10, 01, 07 oder
15, 10, 02, 09.

Die Zahlen dieser Parameter fallen natürlich für die späteren Parameter flach.
Um die Vergleiche auf gleiche Werte zu vereinfachen, indiziere ich einfach und schon geht's ruck-zuck.
Ein alter C-16 reicht dazu.

So.
Wie mache ich so ein MMS also?
Früher habe ich das so gemacht, dass ich eins online habe machen lassen (wie, das steht auch im Forum), dass ich dann abgeändert und auf Eindeutigkeit geprüft habe.
Später habe ich die Werte und Operatoren willkürlich eingegeben, etwa so, dass man man vieles ausschliessen konnte. Natürlich habe ich dann erst recht auf Eindeutigkeit geprüft.

Das wars auch schon. Horridoh, H.-P.

[phesse81]

Hi,

Ich hab mir die Tage auch gerade Gedanken über so ne Lösung (ohne Programm) gemacht. Sie ist im folgenden erläutert
(mit Beispiel..allerdings nicht das vom Threadersteller vorgegebene!)

Lösungsstrategie - Reduktion der Variablen
----------------
Bsp.
Z/S A B C
1 - + 9
+ - -
2 + - 3
+ + +
3 + - 7
18 6 5

1. Vergleich der Quersumme der Zahlen 1 bis 9 (45) mit den Summen der Spalten bzw. der Zeilen
Die Quersumme unterscheidet sich dadurch, dass hier alle Summanden ein positives Vorzeichen haben
=> Subtraktion der Quersumme von den Spalten- bzw. Zeilensummen ergibt den Wegfall aller Summanden
mit positivem Vorzeichen.

Bsp. A + B + C = (A1+A2+A3) + (B1-B2+B3) + (C1-C2+C3) = (18+6+5)
= 45 (Quersumme) - 2x(B2+C2) = 29
=> B2+C2 = 8

z1 + z2 + z3= (A1-B1+C1) + (A2+B2-C2) + (A3+B3-C3) = (9+3+7)
= 45 (Quersumme)- 2x(B1+C2+C3) = 19
=> B1+C2+C3 = 13

2. Differenzen
Da jede Zahl nur einmal vorkommen kann, kann/darf die Differenz zweier Zahlen nicht Null sein.

Bsp. Spalte B: B1 - B2 + B3 = 6 -> da B1<>B2 und B3<>B2 weiß man automatisch:
B1 und B3 <> 6
analog dazu ergibt sich:
C1 und C3 <> 5
A1 und C1 < 9
A2 und B2 <> 3
A3 und B3 <> 7

=> erste Zwischenbilanz:
A1 < 9 B1 <> 6, = 13-C2-C3 C1 <> 5, <9
A2 <> 3 B2 <> 3, = 8-C2 C2 = 8-B2,13-B1-C3
A3 <> 7 B3 <> 6und7 C3 <> 5, = 13-B1-C2

3. Zeilen- und Spalten-Gleichungen ineinander einsetzen

Bsp.
a) anwenden von Strichrechenoperatoren auf die Zeilen, so dass (nach Umsortieren der Summanden)
alle A-Summanden komplett durch das Ergebnis von Spalte A (18) ersetzt werden können.
Z1 + Z2 + Z3
=> (A1-B1+C1) 9
+ (A2+B2-C2) =+ 3
+ (A3+B3-C3) + 7
sortieren nach Spalten:
(A1+A2+A3) + (-B1+B2+B3) + (C1-C2-C3)= 19
Einsetzen der (umgestellten) Spaltengleichungen (immer mind. 2 Variablen ersetzen):
= 18 + ((-6+B3)+B3)+ ((5-C3)-C3)
= 17 + 2x(B3-C3)
=> B3 - C3 = 1

b) anwenden von Strichrechenoperatoren auf die Zeilen, so dass (nach Umsortieren der Summanden)
alle B-Summanden komplett durch das Ergebnis von Spalte B (6) ersetzt werden können.
- Z1 - Z2 + Z3
=> - (A1-B1+C1) - 9
- (A2+B2-C2) =- 3
+ (A3+B3-C3) + 7
sortieren nach Spalten:
(-A1-A2+A3) + (B1-B2+B3) + (-C1+C2-C3)= -5
Einsetzen der (umgestellten) Spaltengleichungen:
= ((A3-18)+A3)+ 6 + (-5)
=> A3 = 6

c) anwenden von Strichrechenoperatoren auf die Zeilen, so dass (nach Umsortieren der Summanden)
alle C-Summanden komplett durch das Ergebnis von Spalte C (5) ersetzt werden können.
Z1 + Z2 - Z3
=> (A1-B1+C1) 9
+ (A2+B2-C2) =+ 3
- (A3+B3-C3) - 7
sortieren nach Spalten:
(A1+A2-A3) + (-B1+B2-B3) + (C1-C2+C3)= 5
Einsetzen der (umgestellten) Spaltengleichungen:
= ((18-A3)-A3) + (-6) + 5 = 5
=> A3 = 6

zweite Zwischenbilanz:
A1 < 9 B1 <> 6, = 13-C2-C3 C1 <> 5, <9
A2 <> 3 B2 <> 3, = 8-C2 C2 = 8-B2,13-B1-C3
A3 = 6 B3 <> 6und7,C3+1 C3 <> 5, = 13-B1-C2,B3-1

4) Ersetzen aller Variablen durch möglichst wenige Basisvariablen (hier B2 und B3 gewählt)
durch Abgleich mit den Ausgangsgleichungen (Zeilen/Spalten)

z1:A1 - B1 + C1 = 9
= A1-(13-C2-C3)+C1 Quersumme 2 eingesetzt (Ersetzung von B1)
= A1-13+C2+(5+C2) Spalte 3 eingesetzt (Ersetzung von C1 und C3)
=> A1 = 17- 2xC2 = 17-2x(8-B2) Quersumme 1 eingesetzt (Ersetzung von C2)
= 1 + 2xB2

z2:A2 + B2 - C2 = 3
= A2 + B2-(8-B2) = A2-8 + 2xB2 Quersumme 1 eingesetzt (Ersetzung von C2)
=> A2 = 11 - 2xB2

=> dritte Zwischenbilanz (Matrix mit nur 2 Variablen)
1+2xB2 < 9 6+B2-B3 <> 6 14-B2-B3<9, <> 5
11-2xB2 <> 3 B2 <> 3 8-B2 <> 5
6 B3 <> 6und7 B3-1 <> 5und6
für alle gilt darüber hinaus natürlich auch die Relation 0<Variable<10

5) Vergleichen der Relationen (<,=,>)
Bsp.
A1: B2<4; B2: <>3 => B2<3 = 1,2
=> C2 = 7,6; C2<>6 <=> A3=6 => C2=7; => B2=1
=> A1=3; A2=9
C1: -B2-B3<-5; B2=1 => B3>4,<>6und7,<>9 <=> A2=9 => B3=5,8
=> C3: 4,7; C3<>7 <=> C2=7 => C3=4 => B3=5
=> B1=2; C1=8

Lösung:
3 2 8
9 1 7
6 5 4