Ansatz:
t Zeit in Tagen
A(t) Größe der Pflanze A in cm nach t Tagen, A0 = A(0)
B(t) Größer der Pflanze B in cm nach t Tagen, B0 = B(0)
A(t) = A0 * 1,1^t
B(t) = B0 + t/6 + t^2/2 + t^3/3
B(t) gewinnt man entweder, wenn man für B(t) ein Polynom dritten Grades B(t) = B0 + B1 t + B2 t^2 + B3 t^3 ansetzt und durch Koeffizientenvergleich in B(t) - B(t-1) = t^2 die Koeffizienten B1, B2 und B3 bestimmt, oder man verwendet die Summenformel der Quadratzahlen Sum(i^2, {i,1,n}) = n(n+1)(2n+1)/6 und überträgt sie von den Ganzzahlen n (n aus N) auf Zeiten in Tagen t (t aus R).
Das Wachstum wird durch die Ableitung der Funktion bestimmt:
A'(t) = A(t) ln(1,1) = A0 * 1,1^t / ln(1,1)
B'(t) = 1/6 + t + t^2
Da B0 hier nicht mehr auftritt, eigenen sich die Ableitung bei t = 9 zur Berechnung von A0:
B'(9) = A'(9)
1/6 + 9 + 9*9 = A0 *1,1^9 / ln (1,1)
--> A0 = 401,211...Und nun die Größe am 4ten Tag zum Bestimmen von B0:
B(4) = A(4)
B0 + 4/6 + 4^2/2 + 4^3/3 = B0 + 2/3 + 8 + 64/3 = B0 + 30 = A0 1,1^4
--> B0 = A0 1,1^4 - 30 = 557,413
Nebenbei kann man noch ausrechnen, dass auch nach 38,8111 Tagen die Planzen erneut gleich schnell wachsen. Planze A ist dann 16213.1 cm hoch und Pflanze B ist 20804.1 cm hoch. Das Wachstum ist in dem Moment 1545.28 cm je Tag.
Nach 47,7411 Tagen sind beide Pflanzen nochmal gleich hoch und zwar 37975,8 cm. Danach wird Planze A sehr viel schneller größer als Pflanze B.
