Pfützensprünge

[Otmar]

Gegeben ist ein Weg mit nummerierten Feldern. Das erste Feld hat die Nummer 1, das zweite die Nummer 2 und so weiter. Alle Felder sind trocken außer solche Felder, deren Nummer eine Primzahl ist. Denn bei Primzahlfeldern sind Pfützen. Herr Platsch steht auf Feld 1 und soll auf dem Weg vorankommen indem er immer die gleiche Anzahl von Feldern überspringt. Die Sprungweite darf er sich aussuchen, muss sie aber beibehalten. Für Sprungweite 7 ergibt sich:
Von 1 auf 8 auf 15 auf 22 auf 29 (Pfütze).

Was könnt ihr Herrn Platsch empfehlen, dass er trockene Füße behält?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40...

[Vana]

Ich empfehle ihm, dass

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Er um den Weg rumgeht!

[Kolabord]

Ist bei Feld 40 Schluß, oder geht danach das Feld immer weiter?
Ich empfele jedenfalls, dass Herr Platsch

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a) erwachsen wird
b) Gummistiefel kauft
c) direkt auf Feld 40 springt (was aber auch eine sehr beachtliche Leistung wäre, aber sie funktioniert.
d) einen Schritt zurück geht, ab da ist alles einfacher
e) immer 13 Felder wei springt.

Ein sehr intressantes Rätsel! Mich würde intressieren, ob man die Lösung auch ohne ausprobieren -also reinlogisch- finden kann *grübel*

[Otmar]

@Vana,

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vorbeilaufen darf Herr Platsch nicht, er muss sich unendlich lange mit endlichen Sprüngen gleicher Weite nach rechts springend bewegen.

Dass die Animation auch nach links springt, hat technische Gründe und ändert nichts am Rätsel.

@Kolabord,

Ist bei Feld 40 Schluß, oder geht danach das Feld immer weiter?

Ja es soll bis ins Unendliche weitergehen. Platsch darf jede ganzzahlige endliche Sprungweite ab 1 benutzen.

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Ich empfele jedenfalls, dass Herr Platsch
a) erwachsen wird
b) Gummistiefel kauft
c) direkt auf Feld 40 springt (was aber auch eine sehr beachtliche Leistung wäre, aber sie funktioniert.
d) einen Schritt zurück geht, ab da ist alles einfacher
e) immer 13 Felder weit springt.

Mein Lösungsfavorit ist unter a..e dabei.
Zurückgehen darf er nicht, dann wäre es ja trivial.

Mich würde intressieren, ob man die Lösung auch ohne ausprobieren -also reinlogisch- finden kann

Da es unendlich lang weitergehen soll, wird Ausprobieren nicht helfen, auch nicht mit Computer. Reinlogisch geht, ist aber mehrere Nummern zu hoch für "Leichte Kost", denn da haben sich schon Euler und Legendre die Zähne dran ausgebissen.

Wenn du die Suche etwas anders gestaltest, ist die Lösung nicht so schwer zu finden.

lg Otmar

[Kolabord]

Ja es soll bis ins Unendliche weitergehen. Platsch darf jede ganzzahlige endliche Sprungweite ab 1 benutzen.

Dann ist meine Lösung schmarn. Ich muss noch mal nachdenken (und das ganze doch für leichte Kost recht knifflig).

[Otmar]

(und das ganze doch für leichte Kost recht knifflig).

Wenn man's ganz allein machen will, wäre es eine sehr sehr harte Nuss. Ich hatte, nachdem ich mir die Aufgabe überlegte, keine Chance, sie ohne Hilfe zu lösen. Aber als ich dann rausfand, dass es sowohl Euler als auch Legendre nicht viel anders ging, war das nicht mehr so schlimm... Bischen rumprobieren schadet nicht, aber bitte nicht verzetteln!
lg. Otmar

[Otmar]

@Kolabord
obwohl du deine Aussage wieder zurückgezogen hast, b war richtig und

Denn

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egal in welchem Abstand Herr Platsch springt, er wird irgendwann immer auf einer Primzahl, also in einer Pfütze landen. Er landet sogar in unendlich viele Pfützen. Und da sind Gummistiefel nicht so schlecht, um trockene Füße zu behalten.

In der Schule lernt man das wahrscheinlich nicht, aber wenn man Primzahl in der Wikipedia
http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahl
sucht, findet man gleich unter Eigenschaften einen ähnlichen Fall. Dort werden Prinzahlen der Form 1 + 4k untersucht. (Im Rätsel wird über Zahlen der Form 1 + m * k gesprungen, wobei m die Sprungweite ist.) Für m = 4 wird behauptet, dass es unenlich viele Primzahlen der Form 1 + 4 k gibt und zur Begründung auf den Primzahlsatz von Dirichlet
http://de.wikipedia.org/wiki/Dirichletscher_Primzahlsatz
verwiesen, der besagt, dass jede Folge a + m k mit k = 0, 1, 2,… unendlich viele Primzahlen hat, wenn a und m keine gemeinsamen Teiler > 1 haben. Da a in unserem Fall 1 und m >= 1 ist, ist das beim Pfützenweg für Herrn Platsch immer so.

Vermutet hat das wie gesagt schon Euler und da haben sicher viele Mathematiker über 100 Jahre nach einem Beweis gesucht, der dann erst 1837 dem Dirichlet gelang. Und der Beweis ist sicher keine leichte Kost, denn er wird selbst in einschlägigen Büchern nur zitiert, weil er so schwierig ist.

Lg Otmar