Das Fangspiel

[Gabum]

Ein Kindergarten spielt ein besonderes Fangspiel. Zuerst wird ein Spieler zum Fänger auserkoren, und muss 3 andere Kinder fangen. Ein gefangenes Kind wird auch zum Fänger, und darf nicht erneut angeschlagen werden. Hat ein Fänger 3 Kinder erwischt, hat er gewonnen und geht aus dem Spiel. Das Spiel ist vorbei, wenn nur noch Fänger da sind.
Am Schluss sind noch 27 Kinder im Spiel, die alle Fänger sind. Keines von ihnen hat ein weiteres Kind gefangen.

Wieviele Kinder waren am Anfang im Spiel?

[Neuling]

Wenn ich keinen Denkfehler gemacht habe, müssten es

Mehr ->

40 Kinder gewesen sein.

Der Erste fängt 3 Kinder und scheidet aus. ---> 1
Die drei neuen Fänger fangen je drei Kinder und scheiden aus. ---> 3
Die jetzt neun Fänger fangen je drei Kinder und scheiden aus. ---> 9

Damit sind jetzt 27 Fänger im Spiel, die noch niemanden gefangen haben.

27 + 9 + 3 + 1 = 40

[Half-Eye]

Mehr ->

Es waren 40 Kinder.

Das die 7 am Ende alle niemanden gefangen haben, heißt, dass die anderen Fänger jeweils drei gefangen haben müssen und das Spiel somit verlassen haben.

Am Anfang gab es einen Fänger (1). Dieser fängt drei (3). Jeder von diesen fängt wieder drei (9). Und zu guter letzt von diesen auch jeder drei (27).
Damit sind es also insgesamt 1 + 3 + 9 + 27 = 40.

[Oberjeck]

Mehr ->

Das müssten vierzig Kinder sein.

1. 1 Fänger, 3 Gefangene, dann Fänger raus.
2. 3 Fänger, 9 Gefangene, dann die 3 Fänger raus.
3. 9 Fänger, die fangen die restlichen 27 Kinder. Die 9 müssten dann auch raus. Dann bleiben nur noch die 27 Leute übrig, die vorher vergeblich versucht haben, den Fängern zu entkommen.

Also wenn auch ich keinen Denkfehler machte, müssten es eins plus drei plus neun plus siebenundzwanzig sein.

[Gabum]

Und die Antwort lautet *drrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr*

Mehr ->

40!

[Otmar]

Alternative Lösung:

Mehr ->

Gesucht sind k Kinder, die anfangs im Spiel waren. Davon sind a = k-27 Gewinnerkinder, also vor Spielende ausgeschiedene Kinder. Jeder Gewinner hat 3 Kinder gefangen. Alle Kinder außer das erste wurden gefangen. Da die 27 verbliebenen Kinder kein anderes Kind gefangen hatten gilt: 3a=k-1.

Mit a=k-27 von oben gilt 3(k-27)=k-1 --> 2k = 3*27-1 --> k = 40.

Denkfehler?

Mehr ->

Die Schlussfolgerung über die Reihenfolge der Fänger in den oberen Lösungen ist gewagt und keinesfalls nötig, denn es gibt viele andere Konstellationen in denen das Fangspiel abgelaufen sein könnte.

Z.B. Könnte von den ersten drei gefangenen Kinder schon zwei zu den übrigen 27 gehören und nur eins zu den 13 Gewinnern. Sondert man die beiden nicht gewinnenden Kinder gedanklich aus und entfernt den ersten Gewinner, hat man die Ausgangskonstellation mit 40-1-2 = 37 Kindern, die man immer wieder um 3 Kinder verringern kann. Dei letzte Konstellation hätte einen Fänger und noch drei verbliebene Kinder, die von diesem gefangen werden.

Allerdings zeigt die alternative Lösung, dass alle Konstellationen gemeinsam haben, dass am Anfang 40 Kinder im Spiel waren.

Das Beispiel und die alternative Lösung zeigen, dass man das Rätsel mit jeder ungeraden Zahl >= 3 verbliebener Kinder stellen kann, nicht nur mit Zahlen 3^n.