Zwei grasende Ziegen

[Otmar]

Ein Bauer hat eine kreisförmige Wiese und pflockt am Morgen eine weiße Ziege am Wiesenrand an, die Leine so lang, dass sie bis zur Wiesenmitte grasen kann. Als die weiße Ziege mittags fertig ist, wird sie von der Wiese genommen und die schwarze Ziege darf grasen. Diese wird in einer Ecke des sichelförmigen Rests angepflockt, die Leine so lang, dass sie gerade bis zur anderen Ecke der verbliebenen Grasfläche kommt. Nachdem die schwarze Ziege alles erreichbare Gras gefressen hat, darf die weiße Ziege am Abend den Rest der Wiese abfressen.

Welche Ziege hat die größere Grasfläche abgegrast?

PS:
Die Aufgabe ist wesentlich leichter, als "Die grasende Ziege" im Buch "Die Hölle der Zahlen" von Heinrich Hemme und braucht auch keine Näherungslösung.
Für alle, die gern mit Winkelfunktionen rechnen und Kurvendiskussionen können: Man kann beweisen, dass jede andere Leinenlänge der weißen Ziege beim morgendlichen Fressen, dazu führt, dass die schwarze Ziege weniger Gras bekommt, als in der obigen Aufgabe.

[Musagetes]

Hi Otmar,

wieder eine schöne Geometrie- Aufgabe, diese Art Aufgaben waren in der Vergangenheit, hier etwas unterrepräsentiert.

Ich bin die Aufgabe, auf die schnelle ganz konservativ, zu Fuß angegangen, also ohne Scheitelwertberechnung des Radius.

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Zuerst habe ich der Reihe nach alle Teilflächen des Kreises in Abhängigkeit vom Radius (r) berechnet und zusammengefasst bzw. gegenübergestellt.

Für die weiße Ziege Zw bin ich auf folgende Flächengleichung gekommen.

Zw = [4r²Pi – 3(3^1/2)r²]/6 + [3(3^1/2)r² – r²Pi]/6 ==>

Zw = 3r²Pi/6 ==>

Zw = r²Pi/2

Setzt man nun für r=1, so ergibt sich für die weiße Ziege Zw genau Pi/2 also die Hälfte der Grasfläche zum abgrasen.

Ich hoffe, dass meine Ausführungen verstanden wurden!?

Du hast recht mit Aussage, dass die diese Aufgabe wesentlich leichter ist, als die klassische "Ziegen-Aufgabe".

Gruß
Musagetes

[Otmar]

Hallo Musagetes,
das ging ja schnell und

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ist auch total

Nur für den Fall, dass jemand deinen Ausführungen nicht folgen konnte, hab ich noch eine

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kleine Skizze angefügt:

ZweiGrasendeZiegen.JPG (55.49 KiB) 134-mal betrachtet

Gruß Otmar