Wunderpflanzen 2

[Phoenix]

Nach meinem Rechenfehler im letzten Raetsel hoffe ich nun, dass diesmal alles stimmt, seid mir nicht boese, wenn es das nicht tut. Und um spaetere Peinlichkeiten zu vermeiden, gebe ich jetzt schon zu, dass ich im letzten Schritt ohne die Gleichungsloesfunktion des Taschenrechners aufgeschmissen waere
Auch dieses Mal werden zwei Pflanzen am (Ende vom) Tag null eingepflanzt. Pflanze A waechst am Tag eins einen Prozent ihrer Ursprungsgroesse, am Tag zwei zwei, usw. Pflanze B schrumpft, und zwar an jedem Folgetag um zehn Prozent ihrer Groesse am Tag (an dessen Ende) zuvor. Zu welchem Zeitpunkt wachsen/schrumpfen beide Pflanzen gleich schnell, wenn wir wissen, dass sie 74 Stunden frueher, als sie es eigentlich tun, an einem Tag (in einer Zeitspanne von 24 Stunden) die gleiche Distanz wachsen/schrumpfen wuerden, waere Pflanze A beim Einpflanzen (zu Beginn) doppelt so gross?

[Kolabord]

Schrumpft Pflanze B jeden Tag um 10% oder immer um 10% mehr als am Tag zuvor?

[Phoenix]

Die Pflanze schrumpft jeden Tag (ueber den Tag verteilt) zehn Prozent der Groesse, die sie am Ende des Vortages hatte. Das heisst, obwohl sie schrumpft, bleibt sie immer ueber dem Boden.

[Otmar]

Hallo Phoenix,

Zu welchem Zeitpunkt wachsen/schrumpfen beide Pflanzen gleich schnell, wenn wir wissen, dass sie 74 Stunden frueher, als sie es eigentlich tun, an einem Tag (in einer Zeitspanne von 24 Stunden) die gleiche Distanz wachsen/schrumpfen wuerden, waere Pflanze A beim Einpflanzen (zu Beginn) doppelt so gross?

Wie ist die Relation?

74 Stunden frueher

zu

an einem Tag (in einer Zeitspanne von 24 Stunden)

Oben das ist ein Zeitpunkt und unten eine Zeitspanne. Ist der Zeitpunkt in der Mitte, am Anfang oder am Ende der Zeitspanne?

[Phoenix]

Oben das ist ein Zeitpunkt und unten eine Zeitspanne. Ist der Zeitpunkt in der Mitte, am Anfang oder am Ende der Zeitspanne?

Der Zeitpunkt bezieht sich auf die Frage. Man muss ausrechnen, zu welchem Zeitpunkt beide Pflanzen gleich schnell wachsen/schrumpfen. Dass es nur ein Punkt ist, hat den gleichen Grund wie beim letzten Raetsel. Bei der Zeitspanne werden Informationen gegeben, um die Frage beantworten zu koennen, das hat erst einmal gar nichts mit der Frage zu tun. Die Pflanzen wachsen/schrumpfen in einer Zeitspanne von 24 Stunden in Summe genau gleich viel. Diese Zeitspanne laege aber 74 Stunden frueher, waere Pflanze A zu Beginn doppelt so gross. Anhand dieses Hinweises sollte man (also ich habe es geschafft ), die Frage beantworten koennen.

[Otmar]

Hallo Phoenix,

mir ist immer noch nicht klar, wo die Zeitspanne genau liegen soll.

Also mal angenommen man hätte den gesuchten Zeitpunkt, an dem die Pflanzen gleich schnell wachsen bzw. schrumpfen und bezeichnet diesen mit t0. Dann gäbe es noch eine Zeit t1 = t0 - 74h.

Nun ist von einer Zeitspanne von 24h Dauer die Rede die irgendwie zur Zeit t1 stattfindet.

Mir ist unklar, wo genau diese Zeitspanne liegen soll:

A) t1...t1+24h oder
B) t1-24h ... t1oder
C) t1-12h ... t1+12h

je nachdem, wohin man die Zeitspanne relativ zu t1 hinlegt, wird es ein anderes Ergebnis für t0 geben. D.h. die genaue Lage der Zeitspanne relativ zu t1 ist wichtig. Oder soll sie sich genau auf den Tag legen, von 0:00 bis 24:00 in dem t1 liegt (D). Auch das wäre noch eine Möglichkeit, ggf. wird die Aufgabe dann aber nicht eindeutig lösbarbar, das habe ich aber noch nicht getestet.

[Phoenix]

Der Zeitpunkt, der gesucht ist, und die Zeitspanne liegen in keiner gegebenen Relation zueinander. Und die Zeitspanne liegt auch nicht exakt auf einem Tag; auch diesmal konnte ich die krummen Zahlen nicht vermeiden. Mit den Informationen der Zeitspanne sollte es moeglich sein, den Zeitpunkt auszurechnen, aber sonst haben sie nichts miteinander zu tun.

[Otmar]

Hallo Phoenix,

entweder verstehe ich die Aufgabe nicht oder deine letzten Antworten. Ich schreib mal was in Richtung meiner Lösung. Kannst ja mal lesen. Vielleicht erkennst du dort das Problem.

Mehr ->

Längeneinheiten in Größen der ersten Pflanze (A) am Ende von Tag 0, Zeiten in Tagen:

A(t) = 1 + 0.01 t (t+1)/2
B(t) = B(0) 0,9^t

erste Bedingung zur gesuchten Zeit t0 aus der sich die noch unbekannte Größe B(0) durch t0 ausdrüchen lässt:
A’(t0) + B’(t0) = 0 ---> B(0) = -0.01 (0.5+t0) 0,9^-t0/ln(0,9) -->
und damit bekommen wir eine neue Gleichung für B(t)
B(t) = -0.01 (0.5+t0) 0,9^(t-t0)/ln(0,9)

setzen wir
tv = 74/24 + s
s Relation des 24h Intervalls zu t0-74/24 mit -1<=s=<0

aus der Formulierung für die zweite Bedingung lese ich:

2(A(t0-tv+1) - A(t0-tv)) + B(t0-tv+1) - B(t0-tv) = 0

Gleichung mit 200 multiplizieren und einsetzen:

2((t0-tv+1)(t0-tv+2) - (t0-tv)(t0-tv+1)) - (1 + 2t0)0.9^(t0-tv+1-t0)/ln(0,9)+(1 + 2t0)0.9^(t0-tv-t0)/ln(0,9) = 0
--->
4 (t0-tv+1) = (1 + 2t0)(0.9^(-tv+1)-0,9^(-tv))/ln(0,9)

Lösung für t0:

mit z = ln(0,9)0.9^tv erhält man:
t0 = (40z(tv-1)-1) / (40z + 2)

D.h. man kann t0 direkt ausrechnen:

z.B: für s = 0 und tv = 74/24 ist t0 = 7.02536
für s=0.5 ist tv = 74/24-0.5 ist t0 = 9.51862 und
für s=1 ist tv = 74/24-1 ist t0 = 12.7561

Also man sieht schon, dass die Lage des Zeitintervalls wichtig ist. Sonst könnte man sich ja die Angabe mit den 74 Stunden auch schenken.

[Phoenix]

@Otmar

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Ich glaube, deinen Rechenweg grob zu verstehen Gleich am Anfang gibt es einen Fehler

A(t) = 1 + 0.01 t (t+1)/2

Pflanze A waechst am Tag eins einen Prozent ihrer Ursprungsgroesse

Da fehlt A(0) => A(t) = A(0)(1 + 0.01 t (t+1)/2). Daher fehlt dir auch A(0) in allen folgenden Gleichungen. Ich weiss nicht, ob dein Rechenweg (der sich sehr von meinem unterscheidet) mit der Aenderung aufgeht, jedenfalls schliessen deine Grenzen 7.02536 und 12.7561 meine Loesung mit ein. Auch liegt es nahe, dass der Zeitpunkt der gleichen Wachstumgeschwindigkeit und die 24 Stunden, in denen sie gleich viel wachsen, nahe beieinander liegen, jedoch kommt die Relation davon in meiner Rechnung nicht vor. Erst rechne ich das Intervall aus, und damit dann den Zeitpunkt.

[Otmar]

Hi Phoenix,

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Gleich am Anfang gibt es einen Fehler

A(t) = 1 + 0.01 t (t+1)/2

das ist schon OK, denn

Längeneinheiten in Größen der ersten Pflanze (A) am Ende von Tag 0

Damit ist A(0) immer gleich 1 und die ganze Rechnung wird etwas einfacher.

Allerdings weiss ich immer noch nicht, wo das 24 Stunden Intervall liegen soll. Aber du hast es insofern präzisiert, dass es nicht unbedingt auf einen Tag liegen muss. Heute hatte ich noch die Idee, dass du eventuell gar kein Intervall meinst, sondern vielleicht die Aufgabe ohne Intervall verstehst. Eventuell so:

Zu welchem Zeitpunkt wachsen/schrumpfen beide Pflanzen gleich schnell, wenn wir wissen, dass sie 74 Stunden frueher, als sie es eigentlich tun, an einem Tag (in einer Zeitspanne von 24 Stunden) die gleiche Distanz gleich schnell wachsen/schrumpfen wuerden, waere Pflanze A beim Einpflanzen (zu Beginn) doppelt so gross?

Dann erhält man für t0 = 9.50821 Tage.

Falls auch das nicht stimmt, könntest du deine Lösung mal überprüfen. Dazu brauchst du neben dem t0 noch ein A(0) und ein B(0) und das 24 Stunden Intervall:

Die Probe für meine erste Lösung sieht so aus:

t0 = 7.02536
A(0) = 1
B(0) = 1.49731
---> A'(t0) = -B'(t0) = 0.0752536
t1 = t0 - 74/24 = 3.94202
---> 2A(t1+1) - 2A(t1) = -(B(t1+1) - B(t1)) = 0.0988405

D.h. diese Lösung befriedigt aus meiner Sicht die Aufgabenstellung. Jedenfalls, wenn das 24 Stundenintervall 74 Stunden vor dem Zeitpunkt der gleichen Wachs/Schrumpf-Geschwindigkeit beginnt.