Beim Übergang vom Ausgangsquader zum oberen Quader wird entweder eine in Millimetern geradzahlige Kante des Ausgangsquaders halbiert oder von einer Kante wird die Länge einer kürzeren Kante subtrahiert. Die anderen beiden Kanten bleiben gleich. D.h. solange der Quader ungleich lange Kanten hat oder wenigstens eine in Millimetern geradzahlige Kante hat, sind horizontale Schnitte möglich. Erst wenn ein Quader mit gleichlangen Kanten, also ein Würfel, mit ungerader Kantenlänge übrig ist, hat man den gesuchten Rest.
Die einfache Möglichkeit, das Rätsel zu lösen wäre nun gewesen, die Kantenlängen 1, 3 und 5 auszuprobieren. 1 und 3 fallen wegen der Y Bedingung weg:
Kantenlänge 1, X=6, Y = 1-70 ist negativ
Kantenlänge 3, X=54, Y = 54-70 ist negativ
Kantenlänge 5, X=150, Y = 150-70 = 80, Z = 125 + 30 = 155, das geht, z.B. mit folgenden Teilungen:
150x80x155-->150x80x5-->70x80x5-->70x10x5-->35x10x5-->25x10x5-->15x10x5-->5x10x5-->5x5x5
natürlich gibt es noch eine Vielzahl anderer Teilungen, die diesen Restwürfel übrig lassen, aber es gibt keine Teilung, die einen anderen Rest übrig lässt. Warum:
Die Kantenlänge des Restes ist der größte gemeinsame ungerade Teiler des Kantenlängen des Ausgangsquaders, denn bei keiner Teilung ändert sich der größte gemeinsame ungerade Teiler der Kanten. Da der größte gemeinsame ungerade Teiler das Produkt der gemeinsamen ungeraden Primzahlen in der Primfaktorzerlegung der einzelnen Kanten ist, kann weder ein Entnehmen noch ein Hinzufügen des geraden Primfaktor 2 den größten gemeinsamen ungeraden Teiler ändern. D.h. bei einer Teilung einer geraden Kante durch 2 bleibt der größte gemeinsame ungerade Teiler gleich. Wird bei einer Teilung die Differenz a'=a-b zwischen einer größeren Kante a und einer kleineren b gebildet gibt es keine Änderung des größten gemeinsamen Teilers und damit auch keine Änderung des größten gemeinsamen ungeraden Teilers. Denn sei g der größte gemeinsame Teiler vor der Teilung, also a = g*A und b = g*B, dann ist a'=a-b=g(A-B) auch durch g teilbar. D.h. der größte gemeinsame Teiler von a' und b ist größter oder gleich g. Nehmen wir an er sei G, also a'=G*A' und b=G*B'. Dann ist a=a'+b=G(A'+B') auch durch G teilbar. D.h. der größte gemeinsame Teiler von a und b ist größer gleich G. Somit haben wir G>=g und g>=G das Ergebnis g=G. Womit bewiesen wäre, dass sich bei der Teilung durch Differenzbildung der größte gemeinsame Teiler nicht ändert. Wenn der Rest nun zu einem Würfel ungerader Kantenlänge geworden ist, dann ist in diesem Fall, der größte gemeinsame ungerade Teiler offenbar diese Kantenlänge, da der größte gemeinsame Teiler von drei gleichen ungeraden Zahlen offenbar diese Zahl selbst ist. Hätte der Restwürfel eine andere Kantenlänge als den größten gemeinsamen ungeraden Teiler der drei Ausgangskantenlängen, dann wäre bei einer Teilung gemogelt worden, weil sich bei wenigstens einer Teilung der größte gemeinsame ungerade Teiler geändert hätte.
Sei nun u dieser größte gemeinsame ungerade Teiler der Ausgangszahlen X, Y und Z und damit die Kantenlänge der Restwürfels, dann ist:
X=6u²
Y=6u²-70
Z=u³+30
D.h. sowohl 70=2*5*7 als auch 30=2*3*5 müssen durch u teilbar sein. D.h. für u ist nur die ungerade Zahl 1 oder 5 möglich. u=1 fällte wegen Y=6u²-70 > 0 weg und 5 ist die Lösung, da dann X=150=2*3*5*5 und Y=80=2*2*2*2*5 und Z=155=5*31 also der größte gemeinsame ungerade Teiler tatsächlich 5 ist.
Nun lässt sich auch leicht zeigen, das mein Fehler im Ausgangstext jede Lösung verhindert hat. Da galt:
X=6u²
Y=6u²-30
Z=6u³+70
Auch hier geht für u nur 1 oder 5 und 1 fällt wegen Y>0 weg. Mit u=5 wäre X=150=2*3*5*5, Y=120=2*2*2*3*5 und Z=195=3*5*13. In dem Fall ist der größte gemeinsame ungerade Teiler von X, Y und Z aber 15, weshalb der letzte Lösungskandidat 5 auch durchgefallen ist.
