Piraten beim Skat

[Kolabord]

Wie ihr wisst, steht bald wieder das wohl größte Piratenskattunier an. Dazu ist mir folgendes eingefallen:

Alljährlich treffen sich alle Piraten der Karibik um gemeinsam ein Skattunier auszuspielen. Zu beginn setzen sich alle Piraten um einen großen Tisch. Die Piraten sammeln nun eine Teilnahmegebühr, um die gespielt wird ein. Das funktioniert wie folgt:
Jeder Pirat sitzt an einer bestimmten Stelle des Tisches. In dieser Reihenfolge wird eingezahlt.
Es wird ein Hut reihum gegeben, in den die Piraten ihr Geld werfen. Dies geht solange, bis der Hut wieder beim ersten Piraten ankommt.
Jeder Pirat wirft Geld ein. Negative Beträge, andere Währungen oder ähnliche Tricksereien sind nicht zugelassen.
Ich sitze an erster Stelle und beginne mit dem einzahlen.
Sobald der Raum voll ist, also jeder Stuhl besetzt ist, geht der Hut rum.
Jeder zweite Pirat (also jeder, der eine gerade Platznummer hat) gibt exakt soviel Geld, dass der Betrag des Jackpots auf den nächsten Zehner gerundet wird. (befinden sich also 132€ im Hut, muss der Pirat 8€ zahlen, befinden sich 130€ im Hut wird auf 140€ gerundet.
Alle anderen Piraten geben einen beliebigen Betrag, jedoch immer mehr, als der Pirat der zwei Plätze vor ihm sitzt.
Jeder Pirat ist faul und geizig.
An dem Skattunier nehmen unendlich viele Piraten teil.
Weil die Plätze unterschiedlich gut sind, betreten die Piraten den Raum in einer festgelegten Reihenfolge und setzen sich immer an den besten Platz, der noch frei ist.
Du betrittst den Raum als 51. Pirat.

Wieviele freie Plätze liegen zwischen meinem und deinem Stuhl, nachdem du dich auf den für dich am rentabelsten Platz gesetzt hast?

Angenommen nun ist jeder Stuhl mit einem Piraten besetzt:
Wieviel Geld befindet sich im Hut, nachdem du eingezahlt hast?
Wieviel Geld befindet sich im Hut, sobald er wieder bei mir angekommen ist?

[Otmar]

Hallo Kolabord,
seit wann bist du denn unter die Piraten gegangen? Und jetzt auch noch auf der Suche nach reichen Mitstreitern...
ich hab noch Fragen:

Jeder zweite Pirat (also jeder, der eine positive Platznummer hat) gibt exakt soviel Geld, dass der Betrag des Jackpots auf den nächsten Zehner gerundet wird. (befinden sich also 132€ im Hut, muss der Pirat 8€ zahlen)

Frage 1: Also die Platznummern sind 1,2,3,4,.... (der Nummer n flogt die Nummer n+1)?
Frage 2: Meinst du mit "jeder Zweite" die Piraten auf den Plätzen 2,4,6,8,...?
Frage 3: Der nächste Zehner ist immer größer als der Betrag im Hut. Also wenn 130 Euro drin sind, zahlt er 10 Euro ein?

Alle anderen Piraten geben einen beliebigen Betrag

Frage 4: Ist das ein Eurobetrag in ganzen Eurocent oder ganzen Euro oder wären auch andere Währungen denkbar, z.B. Kopeken (1 Kopeke ca. 1/40 Eurocent)?
Frage 5: Ist der Betrag > 0, >= 0, oder kann man auch seine Spielschulden einwerfen (d.h. wäre <0 möglich)?

jedoch immer mehr, als alle Piraten mit ungerader Platznummer, die vor ihnen drann waren.

Frage 6: Das ist schon so gemeint, dass z.B. der siebte Pirat mehr geben muss als der erste, dritte und fünfte zusammen gegeben hatten?

Und noch eine Anmerkung:

An dem Skattunier nehmen unendlich viele Piraten teil.

So wie die Aufgabe gestellt ist, dürfte sie einen Widerspruch enthalten. Denn (wenn mal angenommen von dir ausgehend nach rechts gezählt wird) muss ja ein Pirat links neben dir sitzen. Bezüglich der Nummerierung um den Tisch, hat dieser Pirat keinen Nachfolger. Da die Piratenmenge abzählbar unendlich sein muss (wegen der Nummerirung) muss aber jeder Pirat einen Nachfolger haben. Widerspruch und Ende des Beweis...

Ich würde die Aufgabe natürlich auch mit dem Widerspruch lösen, soweit das geht.

Gruß Otmar

[Friedel]

Hallo.

Ich schreibe die Lösung absichtlich nicht in einen Spoiler, denn ich gehe davon aus, dass die Aufgabenstellung noch korrigiert wird.

Wieviele freie Plätze liegen zwischen meinem und deinem Stuhl, nachdem du dich auf den für dich am rentabelsten Platz gesetzt hast?

Das lässt sich natürlich nur beantworten, wenn Otmars Fragen beantwortet sind.

Mehr ->

Angenommen nun ist jeder Stuhl mit einem Piraten besetzt:
Wieviel Geld befindet sich im Hut, nachdem du eingezahlt hast?
Wieviel Geld befindet sich im Hut, sobald er wieder bei mir angekommen ist?

Dazu kommt es nicht. Bisher ich nicht klar, wie schnell die Beträge steigen, die man auf den ungeraden Plätzen bezahlen muss. Sie übersteigen aber sicher ab irgend einem Platz die 10 Euro. Auf jeden Fall muss man auf den geraden Plätzen garantiert weniger als 10 Euro bezahlen. Ab einem bestimmten Platz, der von der Beantwortung von Otmars Fragen abhängig ist, werden also nur noch ungerade Plätze belegt, und auch davon nur bestimmte ungerade Plätze. Die Plätze dazwischen bleiben leer, weil es immer günstigere Plätze gibt. Es wird also nie dazu kommen, dass jeder Stuhl mit einem Pirat besetzt ist.

[Kolabord]

Ich habe den Text jetzt mal soweit angepasst, dass eure Fragen geklärt sein dürften. Ihr seid auf Ideen gekommen, an die ich beim Erstellen des Rätsels nicht gedacht habe. Ihr seid die ersten, die dieses Rätsel zu sehen bekommen, deshalb kann es sein, dass es an einigen Stellen unklarheiten gibt. Aber so ist das Rätsel auch für mich spannend .

Ich schreibe die Lösung absichtlich nicht in einen Spoiler, denn ich gehe davon aus, dass die Aufgabenstellung noch korrigiert wird.

Sobald deine Ausführungen Ideen zur Lösung enthalten solltest du Spoiler setzen. Ich habe die Spoilersperre extra so kurz wie es geht gesetzt, damit dadurch keine Unanehmlichkeiten entstehen.

So wie die Aufgabe gestellt ist, dürfte sie einen Widerspruch enthalten. Denn (wenn mal angenommen von dir ausgehend nach rechts gezählt wird) muss ja ein Pirat links neben dir sitzen. Bezüglich der Nummerierung um den Tisch, hat dieser Pirat keinen Nachfolger. Da die Piratenmenge abzählbar unendlich sein muss (wegen der Nummerirung) muss aber jeder Pirat einen Nachfolger haben. Widerspruch und Ende des Beweis...

Die erste Frage lässt sich auch mit diesem Wiederspruch lösen.
Für die Fragen danach habe ich extra eine Bedingung geschrieben (die habe ich jetzt mal fett gedruckt, zum besseren Verständnis) mit der sich diese auch beantworten lassen.

seit wann bist du denn unter die Piraten gegangen? Und jetzt auch noch auf der Suche nach reichen Mitstreitern...

Ich hätte auch Mönche oder Marsmenschen nehmen können, weil die Rahmengeschichte ohnehin nur der Anschaulichkeit dient, aber während ich mir dieses Rätsel erdacht habe, ist mir ein anderes Rätsel eingefallen. Das ist zwar völlig unterschiedlich zu diesem, aber jetzt kommen wenigstens in beiden Piraten vor.
Und Skatspielen kann ich nicht. Deshalb lohnt sich dieses Tunier für mich eh nicht, aber Piraten beim Skat gefällt mir lautmalerisch ganz gut, aber das nur am Rand .D

[Friedel]

OK. Jetzt ist es klarer. Jetzt ist nur noch unklar, welche Beträge gezahlt werden können. Geht es nur um ganze Euro, oder können auch Centbeträge bezahlt werden. Ich nehme einfach mal an, dass man nur ganze Euro bezahlen kann, denn sonst würde man imho bei einer geraden Platznummer, wenn man auf den nächsten ganzen Zehner aufrundet, von 132 Euro nicht auf 140 Euro sondern auf 132,10 Euro aufrunden.

Mehr ->

Der Pirat auf Platz 1 bezahlt 1 Euro. Der Pirat auf Platz 3 bezahlt also 2 Euro, der auf Platz 5 bezahlt 3 Euro usw. Auf den ungeraden Plätzen wird also ((n+1)/2) Euro bezahlt, wobei n die Platznummer ist. Der Pirat auf Platz 2 bezahlt 9 Euro, damit 10 Euro im Hut sind. Der Pirat auf Platz 4 bezahlt 8 Euro, der auf Platz 6 bezahlt 7 Euro usw. bis der auf Platz 18 nur 1 Euro bezahlt. Auf Platz 20 geht es dann mit 10 Euro weiter, auf Platz 22 mit 9 Euro usw. Auf den geraden Plätzen wird also zyklisch wechseln immer 9,8,7,6,5,4,3,2,1,10,9,8,7,6, usw. Euro bezahlt.

Wieviele freie Plätze liegen zwischen meinem und deinem Stuhl, nachdem du dich auf den für dich am rentabelsten Platz gesetzt hast?

Das lässt sich nicht beantworten. Auf Platz 1, 18, 38, 58, 78, 98, 118 usw. bezahlt man jeweils nur 1 Euro. Es gibt unendlich viele solcher 1-Euro-Plätze, die die Piraten in beliebiger Reihenfolge besetzen können. Zwischen mir und dir liegen 16+20m Plätze, wobei m eine beliebige ganze nicht-negative Zahl ist. Davon sind bis zu 49 Plätze belegt. Es kann also jede beliebige Anzahl von Plätzen frei sein.

Wenn die Piraten bei gleichwertigen Plätzen immer den mit der niedrigsten Platznummer besetzen, setzt sich jeder nach dir kommende Pirat auf Platz -2+20(p-1), wobei p angibt, als wievielter der Pirat sich an den Tisch setzt. Ich sitze dann also auf Platz 998. Zwischen uns sind dann 996 Plätze, auf denen 49 Piraten sitzen. Zwischen uns sind also 947 Plätze frei.

Wieviel Geld befindet sich im Hut, nachdem du eingezahlt hast?

Wenn ich weiterhin davon ausgehe, dass ich auf Platz 998 sitze, müssen im Hut 127490 Euro sein, nachdem ich bezahlt habe. Die Piraten auf den ungeraden Plätzen vor mir haben [Euro] 1 + 2 + 3 + ... + 499 = 249 * 500 + 250 = 124750 bezahlt. Auf den geraden Plätzen (einschließlich meinem) wurde [Euro] 50 * 9 + 50 * 8 + 50 * 7 + 50 * 7 + 50 * 6 + ... + 50 * 1 + 49 * 10 = 50 * 55 -10 = 2740 bezahlt.

Wieviel Geld befindet sich im Hut, sobald er wieder bei mir angekommen ist?

Jedenfalls nicht mehr als etwa 8,5 Mrd Euro. Warum? Mehr gibt es nicht...

[Fade]

Mehr ->

Wieviel Geld befindet sich im Hut, sobald er wieder bei mir angekommen ist?

Da stehe ich gerade auf dem Schlauch. Wie kann das bei einer unendlichen Anzahl von Piraten bestimmt werden? Der Hut kommt doch eigentlich nie wieder bei dir an
Schönes Rätsel jedenfalls. Bin auf die Lösung gespannt.

[Otmar]

Hallo Kolabord,
fand es lustig, dass du uns beide jetzt zu Piraten machst und da hat mich doch mal interessiert

Mehr ->

ob ich mehr zahlen muss, als du. In diesem Punkt bist du auf jeden Fall fair! Also auf zur Lösung:

Da wir einen Widerspruch mit „unendlich“ haben, nehme ich vorerst an, dass die Zahl der Piraten M eine endliche aber beliebig große Zahl sei. Damit werden deine Fragen erst für ein großes M beantwortet und dann kann man sich überlegen, was passiert, wenn M immer größer wird.
Nehmen wir mal an dass Platz 2 rechts von dir ist und Platz M links von dir.

Es sei
k = 1,2,3… die Nummer von Stuhlpaaren
Uk der Geldbetrag in ganzen Eurocent den der Pirat auf Platz 2k-1 zahlt.
Gk der Geldbetrag in ganzen Eurocent den der Pirat auf Platz 2k zahlt.
Wir schreiben k = 1000i + r für i = 0, 1, 2,… und 1 <= r <= 999 für i = 0 und 0 <= r <= 999 für i > 0.
Bk := Uk + Gk
Nach Aufgabenstellung ergibt sich:
Uk = k = 1000i + r
Gk = 1000 – r
Bk = 1000(i+1)
Die besten Plätze sind für die Piraten, die 1 Eurocent beisteuern.
Die Summe tritt auf für dich, denn du zahlst U1 und auch für alle Piraten auf geraden Plätzen 2k mit k = 1000i + 999 sitzen, denn die zahlen Gk = 1000-999 = 1. Diese Plätze haben einen Abstand von 2000 Plätzen untereinander. Der erste Platz rechts von dir ist für i = 0 genau 1997 Plätze entfernt. Der erste solche Platz links von dir ist je nach M 1…1999 Plätze von dir weg. Hier machen die drei Möglichkeiten: 1997, 1998 und 1999 Ärger. Denn in diesen Fällen kann oder wird sich der zweite Pirat auf den Platz rechts von dir setzen, der dritte links, der vierte rechts… und ich wieder links. Da diese Reihenfolge unschön zur Beantwortung deiner Fragen ist, wollen wir mal solche M Werte ausschließen und gehen davon aus, dass sich der zweite Pirat links, der dritte rechts, und so weiter … und ich mich schließlich nach rechts setze. Das ganze passiert wegen der Faulheit und der Feststellung, dass du als erster ja den kürzesten Weg zu deinem Platz genommen hast. Wegen der Symmetrie des Kreises hängt der Weg zu den Plätzen nur vom Abstand ab, den sie von deinem Platz haben.
Ich sitze also auf der rechten Seite und bin, dich eingeschlossen, der 26zigste Pirat der bei „kleinen“ Platznummern sitzt.
Die rechten Piraten vor mir auf gerade Plätzen, also ohne dich, haben also Werte für i = 0, 1, 2, …, 23. Ich habe i = 24 und deshalb den Platz 2(1000*24 + 999) = 49998. Die freien Stühle zwischen uns sind deshalb 49998 – 26 = 49972.
Zur Berechnung des Geldbetrags füge ich die fiktiven Beiträge U0 = 0 und G0=1000 (B0 = U0 + G0) ein. Dann ist die Summe Sk nach dem Pirat am Platz 2k gleich

Sk = Sum(Bj, j = 1..k) = Sum(Bj, j = 0..k) – B0
Für k = 1000i + 999 ist wegen Bk = 1000(i+1)
Sk = 1000 * (1000 * (i+1)(i+2) / 2) – B0
Und für mein i = 24 ist
Sk = 324999000
Also liegen nach mir 3249990 Euro im Hut.

Für die letzte Frage stellen wir nur fest, dass am Ende mindestens M Cent im Hut liegen, da ja jeder Pirat wenigstens einen Cent einwerfen muss.

Jetzt ist die Frage, was passiert wenn M immer größer wird:

Da wir ausgeschlossen hatten, dass ich links sitze, werden die ersten Fragen durch vergrößern von M nicht beeinflusst.

Sollte ich allerdings doch nach links kommen, dann ist die Anzahl der freien Stühle zwischen uns entweder gleich, oder es kann ein Stuhl oder zwei Stühle mehr sein. Die Geldsumme im Hut nachdem ich eingezahlt hatte wächst in dem Fall über alle Grenzen.

In beiden Fällen, ob ich nun links oder rechts sitze, wächst der Geldbetrag, der bei dir ankommt mit wachsender Piratenzahl über alle Grenzen.

Wenn das unendlich Problem noch etwas in der Griff zu bekommen wäre, wieder ein extra Klasse Rätsel!

Gruß Otmar

[Friedel]

Hallo.

Mich braucht ihr nicht zum Piraten zu machen, denn ich bin schon Pirat (http://wiki.piratenpartei.de/Benutzer:Friedel).

Mehr ->

Otmars Idee, die Länge der Wege zum Sitzplatz zu berücksichtigen, ist natürlich super. Darauf bin ich nicht gekommen. Es ist zwar nicht gegeben, dass der Tisch rund oder wenigstens symmetrisch ist, aber die Annahme erscheint mir sinnvoll. Allerdings komme ich damit auf ganz andere Zahlen als Otmar. Außer bei Platz 1 ist der Abstand zwischen 2 Ein-Euro-Plätzen immer 20 Plätze. Da links von Platz 1, wo die kleineren Platznummer sind, der Platz 18 ein 1-Euro-Platz ist, ist sehr wahrscheinlich der Abstand von Platz 1 zum letzten Ein-Euro-Platz kleiner. Der 2. Pirat wird sich also auf den Ein-Euro-Platz mit der höchsten Platznummer setzen. Der 3. kommt dann auf Platz 18, der vierte 20 Plätze rechts vom 2. Pirat usw. Da ich der 51.Pirat bin, bekomme ich also den 25. Ein-Euro-Platz links von deinem Platz. Das ist Platz Nummer 478. Zwischen uns sind also 476 Plätze, wovon 24 besetzt sind. Zwischen uns sind also 452 freie Plätze, wenn ich mich setze.

Ich habe im Anhang mal meine LibreOffice-Calc-Tabelle hochgeladen, worin man die Zahlen nachlesen kann. In Spalte A sind die Platznummern dargestellt. In Spalte B sind die Beträge dargestellt, die der Pirat bezahlen muss. Ein-Euro-Plätze sind dabei grün hinterlegt. In Spalte C wird mit jedem Ein-Euro-Platz eins weiter gezählt. (So findet man leicht den 25. Ein-Euro-Platz.) In Spalte D steht die Summe, die nach diesem Platz im Hut ist.

Man sieht also auch gleich, dass im Hut 29990 Euro sind, wenn ich ihn weiter gebe.

An Gesamtsumme ändert sich natürlich nichts. Es bleibt bei maximal 8,5 Mrd. Euro, denn mehr Euro-Münzen und Scheine gibt es nicht. Natürlich gibt es hier wieder einen Widerspruch zur unendlich hohen Zahl von Piraten, den ich aber nicht sinnvoll auflösen kann.

[Kolabord]

Geht es nur um ganze Euro, oder können auch Centbeträge bezahlt werden?

Es können selbstverständlich auch Centbeträge gezahlt werden.

Fade:

Mehr ->

Da stehe ich gerade auf dem Schlauch. Wie kann das bei einer unendlichen Anzahl von Piraten bestimmt werden? Der Hut kommt doch eigentlich nie wieder bei dir an

Das ist richtig. Aber die anderen Fragen lassen eine konkrete Antwort zu.

Wenn das unendlich Problem noch etwas in der Griff zu bekommen wäre

Du hast sehr schön gedacht. Um das Problem mit der unendlichkeit in den Griff zu bekommen, solltest du annehmen, dass der Tisch so geformt ist, dass die Plätz umso höher die Platznummer ist auch umso weiter entfernt stehen. Selbst wenn der tisch rund wäre, würde man sich wohl erst auf die rechte Seite setzen, da man wissen muss welche Nummer sein Platz hat. Setzt man sich nach links müsste man erst alle Stühle davor zahlen und dann kommt man ohnehin an einem guten rechten Platz vorbei.
Ansonsten ist deine Lösung aber sehr gut, wenn du das noch einbaust, dürftest du das Rätsel gelöst haben.

[Otmar]

Hallo,
@Friedel

Mehr ->

Es ist zwar nicht gegeben, dass der Tisch rund oder wenigstens symmetrisch ist, aber die Annahme erscheint mir sinnvoll.

Das der runde Tisch nicht garnicht gegeben ist, hab ich erst jetzt bemerkt. Der Geranke daran, das der Hut reihum geht und irgendwann wieder beim Piraten Kolabord ankommt, hat mir so eine starke Vorstellung in den Kopf gesetzt, das ich hätte wetten können, das da steht "der Tisch ist rund"...

Deine Idee mit den 8.5 Mrd Euro finde ich Klasse. Hat ja einen guten aktuellen Kontext und es würde mich nicht wundern, wenn Kolabord das auch so im Sinn gehabt hatte.

Nach der letzten Klarstellung von Kolabord kommt jetzt doch noch meine erste Lösung:

Mehr ->

Die Rechnung ist ja im Prinip die gleiche, nur dass keine Piraten nach links gehen. Eigentlich hatte ich das auch zuerst so ausgerechnet, aber als ich dann schieb, dass die 1 Cent Piraten im Abstand 2000 sitzen, hatte ich die Idee, dass auch Plätze links von dir nicht so weit weg sind. Nun gut, die sind jetzt doch weiter weg und wenn man nicht mit M rechnet sondern gleich mit unendlich, weiss man ja auch nicht, wo diese Plätze sind.

Also hier sind die Zahlen meines ersten Ergebnisses:

Ich sitze auf Platz 99998 und zwischen uns sind noch 99947 Plätze frei. Nach mir liegen 12749990 Euro im Hut.
Bei der letzten Frage würde ich mich dem Friedel anschließen. Die Antwort erzeugt zwar noch einen Widerspruch zur Aufgabenstellung, ist aber witzig...

Ich hätte auch noch ein Vorschlag,

Mehr ->

wie man die Aufgabe mit rundem Tisch und endlicher Anzahl von Piraten stellen könnte:

Dazu könnte man die Aussage, dass es unendlich viele Piraten gibt, durch die Bedingung ersetzen:

Wenn ein Pirat weniger erscheinen würde, müsstest du doppelt soviel Geld einsetzen.

Dann könnte man zusätzlich fragen, wieviele Piraten sich zum Skatturnier treffen.

Piratengruß
Otmar

PS: Ich spiele sehr gern Skat....