Paulchen und die bunten Stäbchen

[Neuling]

Lena übt mit Paulchen ein wenig Kopfrechnen. Das machen sie spielerisch.
Sie haben farbige Stäbchen in 3 unterschiedlichen Längen.
Die roten sind länger als die gelben, aber kürzer als die blauen.

Lena sagt 20 und Paulchen legt 3 Stäbchen längs aneinander. --->
Lena sagt 23 und Paulchen legt 3 Stäbchen längs aneinander. --->
Lena sagt 29 und Paulchen legt 3 Stäbchen längs aneinander. --->


Lena sagt 32. Wie viele Stäbchen und von welchen Farben wird Paulchen jetzt mindestens längs aneinanderlegen?

Edit: Aufgabentext ergänzt: "mindestens"

[Otmar]

Unter den naheliegenden Annahmen, dass die Stäbchen in einer Längeneinheit U ganzzahlige Länge haben und die genannten Zahl natürlich die gelegten Längen sind, komme ich auf:

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gelb = 6U
rot = 7U
blau = 11U

20 = 1*6 + 2*7 + 0*11
23 = 2*6 + 0*7 + 1*11
29 = 0*6 + 1*7 + 2*11
32 = 3*6 + 2*7 + 0*11

Also legt Paulchen drei gelbe und zwei rote Stäbchen aneinander.

[Neuling]

@ Otmar - Habe Aufgabentext geringfügig ergänzt.
Zusatz nur für dich, bin an einer nichtganzzahligen Längeneinheits-Lösung interessiert.

[Otmar]

Mit "mindestens" wäre ich dann für:

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11+7+7+7=32, also drei rote und ein gelbes Stäbchen.

Zur anderen Frage vielleicht später, falls ich eine nicht ganzzahlige Lösung finde. Habe nämlich noch keine, aber bei meiner Rechnung hatte ich die Annahme gemacht, dass die Stäbchen ganzzahlige Länge haben. Auf jeden Fall gibt es nichtganzzahlige Lösungen für die ersten drei Ergebnislängen.

muss weg, wir haben hier gerade ein Volksfest...

[Neuling]

Hallo Otmar, zu deinen gefundenen Lösungen.

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Als ich das Rätsel eingestellt habe, glaubte ich, dass es nur eine einzige (ganzzahlige) Lösung gäbe. Habe daher das "ganzzahlig " und "mindestens" weggelassen.
Nach deinem ersten Lösungsangebot - bei mir ein "ups", weil es ja doch mindestens eine weitere Lösung gibt.
Nach deinem zweiten Lösungsangebot - bei mir ein "oh, Gott", wie viele Lösungen gibt es denn überhaupt?
Ich habe nämlich eine andere "minimale (?)" Lösung.

Magst du jetzt selbst noch weitersuchen oder soll ich meine Lösung nennen? Erst danach kann ich erklären, warum ich glaube, dass es keine nicht ganzzahligen Lösungen geben kann.

[Otmar]

Hallo Neuling,
nach der fünften Runde Riesenrad hat sich auch bei mir noch eine Lösung "zusammengeschüttelt".

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gelb=5, rot=9 und blau=10 und 32=3*rot+gelb

Aus meiner Sicht kannst du auflösen, falls es keine Lösung mit weniger Stäbchen gibt. Wenn es mit weniger geht, dann lass das Rätsel doch einfach ungelöst und uns noch etwas Zeit zum Suchen. Schadet ja nicht. Ansonsten bin ich gespannt, wie du an die Lösung rangegangen bist.

[Neuling]

Hallo Otmar, ja das ist jetzt die von mir vorgesehene Lösung und dazu nun auch nochmal

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Und inzwischen habe ich auch den Fehler bei meinen Überlegungen zur Ganzzahligkeit erkannt:
Ich bin von meiner Lösung (5, 9, 10 ---> a, b, c) ausgegangen, das darf man nicht!!!
Die Vorgaben waren (2*a + c), (2*b + a) und (2*c + b). Sollte es eine nicht ganzzahlige Lösung geben, so müssten alle drei Werte auf 0,333... enden, damit (abgesehen vom Rundungsfehler) ganzzahlige Summen entstehen. Da bei der gesuchten 32 aber 4 Stäbchen zum Einsatz kommen, entsteht immer (egal welche Stäbchen genommen werden) eine Summe X,333... !
Bei dieser Betrachtung müsste ich eine Lösung aus 6 Stäbchen zaubern, damit die Summe glatt wird.
Aber wie gesagt, völlig falscher Ansatz, so darf man nicht an die Sache rangehen.

Ich hake jetzt die Aufgabe ab und es bleibt offen, ob es noch weitere Lösungen (evtl. auch nicht ganzzahlige) gibt.

[Otmar]

Na dann bringen wir es zu Ende.

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In der Zeit der Computer ist das ja nicht mehr so schwierig. Es gibt 101 verschiedene Lösungen des ursprünglichen Rätsels. Die drei ganzzahligen Lösungen (Nr. 25, 34 und 35) haben wir bereits gefunden und die anderen sind ganzzahlige Drittel oder Sechstel. Dabei braucht Paulchen mindestens 3 und höchstens 48 Stäbchen um die Zahl 32 zu legen.

Nr.   gelb   rot    blau                                                            
  1: [20/3] [29/3] [47/3]  (3 0 0)->20 (2 1 0)->23 (2 0 1)->29 ( 1  1  1)->32    3
  2: [20/3] [29/3] [38/3]  (3 0 0)->20 (2 1 0)->23 (1 1 1)->29 ( 0  2  1)->32    3
  3: [20/3] [29/3] [38/3]  (3 0 0)->20 (2 1 0)->23 (1 1 1)->29 ( 1  0  2)->32    3
  4: [20/3] [29/3] [67/6]  (3 0 0)->20 (2 1 0)->23 (1 0 2)->29 ( 0  1  2)->32    3
  5: [20/3] [49/6] [47/3]  (3 0 0)->20 (1 2 0)->23 (2 0 1)->29 ( 0  2  1)->32    3
  6: [20/3] [49/6] [38/3]  (3 0 0)->20 (1 2 0)->23 (0 2 1)->29 ( 1  0  2)->32    3
  7: [20/3] [23/3] [32/3]  (3 0 0)->20 (0 3 0)->23 (0 1 2)->29 ( 0  0  3)->32    3
  8: [11/3] [38/3] [47/3]  (2 1 0)->20 (2 0 1)->23 (1 2 0)->29 ( 1  1  1)->32    3
  9: [14/3] [32/3] [41/3]  (2 1 0)->20 (2 0 1)->23 (1 1 1)->29 ( 0  3  0)->32    3
 10: [14/3] [32/3] [41/3]  (2 1 0)->20 (2 0 1)->23 (1 1 1)->29 ( 1  0  2)->32    3
 11: [17/3] [26/3] [35/3]  (2 1 0)->20 (2 0 1)->23 (1 0 2)->29 ( 0  1  2)->32    3
 12: [31/6] [29/3] [38/3]  (2 1 0)->20 (2 0 1)->23 (0 3 0)->29 ( 0  2  1)->32    3
 13: [17/3] [26/3] [35/3]  (2 1 0)->20 (2 0 1)->23 (0 2 1)->29 ( 0  1  2)->32    3
 14: [37/6] [23/3] [32/3]  (2 1 0)->20 (2 0 1)->23 (0 1 2)->29 ( 0  0  3)->32    3
 15: [17/3] [26/3] [53/3]  (2 1 0)->20 (1 2 0)->23 (2 0 1)->29 ( 1  1  1)->32    3
 16: [17/3] [26/3] [44/3]  (2 1 0)->20 (1 2 0)->23 (1 1 1)->29 ( 0  2  1)->32    3
 17: [17/3] [26/3] [35/3]  (2 1 0)->20 (1 2 0)->23 (1 0 2)->29 ( 0  1  2)->32    3
 18: [17/3] [26/3] [35/3]  (2 1 0)->20 (1 2 0)->23 (0 2 1)->29 ( 0  1  2)->32    3
 19: [37/6] [23/3] [50/3]  (2 1 0)->20 (0 3 0)->23 (2 0 1)->29 ( 0  2  1)->32    3
 20: [37/6] [23/3] [32/3]  (2 1 0)->20 (0 3 0)->23 (0 1 2)->29 ( 0  0  3)->32    3
 21: [ 5/3] [32/3] [50/3]  (2 0 1)->20 (1 2 0)->23 (1 1 1)->29 ( 0  3  0)->32    3
 22: [11/3] [29/3] [38/3]  (2 0 1)->20 (1 2 0)->23 (1 0 2)->29 ( 0  2  1)->32    3
 23: [11/3] [29/3] [38/3]  (2 0 1)->20 (1 2 0)->23 (0 3 0)->29 ( 0  2  1)->32    3
 24: [14/3] [55/6] [32/3]  (2 0 1)->20 (1 2 0)->23 (0 2 1)->29 ( 0  0  3)->32    3
 25: [ 5  ] [ 9  ] [10  ]  (2 0 1)->20 (1 2 0)->23 (0 1 2)->29 ( 1  3  0)->32    4
 26: [11/3] [20/3] [38/3]  (2 0 1)->20 (1 1 1)->23 (1 0 2)->29 ( 0  1  2)->32    3
 27: [14/3] [23/3] [32/3]  (2 0 1)->20 (1 1 1)->23 (0 1 2)->29 ( 0  0  3)->32    3
 28: [14/3] [23/3] [32/3]  (2 0 1)->20 (0 3 0)->23 (0 1 2)->29 ( 0  0  3)->32    3
 29: [ 8/3] [26/3] [53/3]  (1 2 0)->20 (2 0 1)->23 (1 1 1)->29 (12  0  0)->32   12
 30: [ 2/3] [29/3] [65/3]  (1 2 0)->20 (2 0 1)->23 (0 3 0)->29 ( 1  1  1)->32    3
 31: [ 2/3] [29/3] [65/3]  (1 2 0)->20 (2 0 1)->23 (0 3 0)->29 (19  2  0)->32   21
 32: [ 2/3] [29/3] [65/3]  (1 2 0)->20 (2 0 1)->23 (0 3 0)->29 (48  0  0)->32   48
 33: [14/3] [23/3] [41/3]  (1 2 0)->20 (2 0 1)->23 (0 2 1)->29 ( 1  0  2)->32    3
 34: [ 6  ] [ 7  ] [11  ]  (1 2 0)->20 (2 0 1)->23 (0 1 2)->29 ( 0  3  1)->32    4
 35: [ 6  ] [ 7  ] [11  ]  (1 2 0)->20 (2 0 1)->23 (0 1 2)->29 ( 3  2  0)->32    5
 36: [ 2/3] [29/3] [38/3]  (1 2 0)->20 (1 1 1)->23 (0 3 0)->29 ( 0  2  1)->32    3
 37: [ 2/3] [29/3] [38/3]  (1 2 0)->20 (1 1 1)->23 (0 3 0)->29 (10  0  2)->32   12
 38: [ 2/3] [29/3] [38/3]  (1 2 0)->20 (1 1 1)->23 (0 3 0)->29 (19  2  0)->32   21
 39: [ 2/3] [29/3] [38/3]  (1 2 0)->20 (1 1 1)->23 (0 3 0)->29 (29  0  1)->32   30
 40: [ 2/3] [29/3] [38/3]  (1 2 0)->20 (1 1 1)->23 (0 3 0)->29 (48  0  0)->32   48
 41: [ 8/3] [26/3] [35/3]  (1 2 0)->20 (1 1 1)->23 (0 2 1)->29 ( 0  1  2)->32    3
 42: [ 8/3] [26/3] [35/3]  (1 2 0)->20 (1 1 1)->23 (0 2 1)->29 (12  0  0)->32   12
 43: [14/3] [23/3] [32/3]  (1 2 0)->20 (1 1 1)->23 (0 1 2)->29 ( 0  0  3)->32    3
 44: [ 2/3] [29/3] [67/6]  (1 2 0)->20 (1 0 2)->23 (0 3 0)->29 ( 0  1  2)->32    3
 45: [ 2/3] [29/3] [67/6]  (1 2 0)->20 (1 0 2)->23 (0 3 0)->29 (19  2  0)->32   21
 46: [ 2/3] [29/3] [67/6]  (1 2 0)->20 (1 0 2)->23 (0 3 0)->29 (48  0  0)->32   48
 47: [ 5/3] [55/6] [32/3]  (1 2 0)->20 (1 0 2)->23 (0 2 1)->29 ( 0  0  3)->32    3
 48: [ 8/3] [26/3] [61/6]  (1 2 0)->20 (1 0 2)->23 (0 1 2)->29 (12  0  0)->32   12
 49: [14/3] [23/3] [59/3]  (1 2 0)->20 (0 3 0)->23 (2 0 1)->29 ( 1  1  1)->32    3
 50: [14/3] [23/3] [50/3]  (1 2 0)->20 (0 3 0)->23 (1 1 1)->29 ( 0  2  1)->32    3
 51: [14/3] [23/3] [73/6]  (1 2 0)->20 (0 3 0)->23 (1 0 2)->29 ( 0  1  2)->32    3
 52: [14/3] [23/3] [41/3]  (1 2 0)->20 (0 3 0)->23 (0 2 1)->29 ( 1  0  2)->32    3
 53: [14/3] [23/3] [32/3]  (1 2 0)->20 (0 3 0)->23 (0 1 2)->29 ( 0  0  3)->32    3
 54: [ 5/3] [23/3] [32/3]  (1 1 1)->20 (1 0 2)->23 (0 1 2)->29 ( 0  0  3)->32    3
 55: [ 5/3] [23/3] [32/3]  (1 1 1)->20 (1 0 2)->23 (0 1 2)->29 (10  2  0)->32   12
 56: [ 5/3] [23/3] [32/3]  (1 1 1)->20 (0 3 0)->23 (0 1 2)->29 ( 0  0  3)->32    3
 57: [ 5/3] [23/3] [32/3]  (1 1 1)->20 (0 3 0)->23 (0 1 2)->29 (10  2  0)->32   12
 58: [ 8/3] [23/3] [29/3]  (1 1 1)->20 (0 3 0)->23 (0 0 3)->29 (12  0  0)->32   12
 59: [ 5/3] [14/3] [41/3]  (1 1 1)->20 (0 2 1)->23 (1 0 2)->29 ( 0  1  2)->32    3
 60: [ 5/3] [14/3] [41/3]  (1 1 1)->20 (0 2 1)->23 (1 0 2)->29 ( 8  4  0)->32   12
 61: [ 5/3] [14/3] [41/3]  (1 1 1)->20 (0 2 1)->23 (1 0 2)->29 (11  0  1)->32   12
 62: [ 8/3] [17/3] [35/3]  (1 1 1)->20 (0 2 1)->23 (0 1 2)->29 (12  0  0)->32   12
 63: [ 2/3] [23/3] [29/3]  (1 0 2)->20 (0 3 0)->23 (0 0 3)->29 ( 2  4  0)->32    6
 64: [ 2/3] [23/3] [29/3]  (1 0 2)->20 (0 3 0)->23 (0 0 3)->29 (19  0  2)->32   21
 65: [ 2/3] [23/3] [29/3]  (1 0 2)->20 (0 3 0)->23 (0 0 3)->29 (22  1  1)->32   24
 66: [ 2/3] [23/3] [29/3]  (1 0 2)->20 (0 3 0)->23 (0 0 3)->29 (25  2  0)->32   27
 67: [ 2/3] [23/3] [29/3]  (1 0 2)->20 (0 3 0)->23 (0 0 3)->29 (48  0  0)->32   48
 68: [ 2/3] [20/3] [29/3]  (1 0 2)->20 (0 2 1)->23 (0 0 3)->29 ( 8  4  0)->32   12
 69: [ 2/3] [20/3] [29/3]  (1 0 2)->20 (0 2 1)->23 (0 0 3)->29 ( 9  1  2)->32   12
 70: [ 2/3] [20/3] [29/3]  (1 0 2)->20 (0 2 1)->23 (0 0 3)->29 (18  3  0)->32   21
 71: [ 2/3] [20/3] [29/3]  (1 0 2)->20 (0 2 1)->23 (0 0 3)->29 (19  0  2)->32   21
 72: [ 2/3] [20/3] [29/3]  (1 0 2)->20 (0 2 1)->23 (0 0 3)->29 (28  2  0)->32   30
 73: [ 2/3] [20/3] [29/3]  (1 0 2)->20 (0 2 1)->23 (0 0 3)->29 (38  1  0)->32   39
 74: [ 2/3] [20/3] [29/3]  (1 0 2)->20 (0 2 1)->23 (0 0 3)->29 (48  0  0)->32   48
 75: [ 2/3] [11/3] [29/3]  (1 0 2)->20 (0 1 2)->23 (0 0 3)->29 ( 4  8  0)->32   12
 76: [ 2/3] [11/3] [29/3]  (1 0 2)->20 (0 1 2)->23 (0 0 3)->29 ( 6  5  1)->32   12
 77: [ 2/3] [11/3] [29/3]  (1 0 2)->20 (0 1 2)->23 (0 0 3)->29 ( 8  2  2)->32   12
 78: [ 2/3] [11/3] [29/3]  (1 0 2)->20 (0 1 2)->23 (0 0 3)->29 (15  6  0)->32   21
 79: [ 2/3] [11/3] [29/3]  (1 0 2)->20 (0 1 2)->23 (0 0 3)->29 (17  3  1)->32   21
 80: [ 2/3] [11/3] [29/3]  (1 0 2)->20 (0 1 2)->23 (0 0 3)->29 (19  0  2)->32   21
 81: [ 2/3] [11/3] [29/3]  (1 0 2)->20 (0 1 2)->23 (0 0 3)->29 (26  4  0)->32   30
 82: [ 2/3] [11/3] [29/3]  (1 0 2)->20 (0 1 2)->23 (0 0 3)->29 (28  1  1)->32   30
 83: [ 2/3] [11/3] [29/3]  (1 0 2)->20 (0 1 2)->23 (0 0 3)->29 (37  2  0)->32   39
 84: [ 2/3] [11/3] [29/3]  (1 0 2)->20 (0 1 2)->23 (0 0 3)->29 (48  0  0)->32   48
 85: [ 2/3] [20/3] [65/3]  (0 3 0)->20 (2 0 1)->23 (1 1 1)->29 ( 8  4  0)->32   12
 86: [ 2/3] [20/3] [65/3]  (0 3 0)->20 (2 0 1)->23 (1 1 1)->29 (18  3  0)->32   21
 87: [ 2/3] [20/3] [65/3]  (0 3 0)->20 (2 0 1)->23 (1 1 1)->29 (28  2  0)->32   30
 88: [ 2/3] [20/3] [65/3]  (0 3 0)->20 (2 0 1)->23 (1 1 1)->29 (38  1  0)->32   39
 89: [ 2/3] [20/3] [65/3]  (0 3 0)->20 (2 0 1)->23 (1 1 1)->29 (48  0  0)->32   48
 90: [11/3] [20/3] [38/3]  (0 3 0)->20 (1 1 1)->23 (1 0 2)->29 ( 0  1  2)->32    3
 91: [ 2/3] [20/3] [47/3]  (0 3 0)->20 (1 1 1)->23 (0 2 1)->29 ( 1  0  2)->32    3
 92: [ 2/3] [20/3] [47/3]  (0 3 0)->20 (1 1 1)->23 (0 2 1)->29 ( 8  4  0)->32   12
 93: [ 2/3] [20/3] [47/3]  (0 3 0)->20 (1 1 1)->23 (0 2 1)->29 (18  3  0)->32   21
 94: [ 2/3] [20/3] [47/3]  (0 3 0)->20 (1 1 1)->23 (0 2 1)->29 (28  2  0)->32   30
 95: [ 2/3] [20/3] [47/3]  (0 3 0)->20 (1 1 1)->23 (0 2 1)->29 (38  1  0)->32   39
 96: [ 2/3] [20/3] [47/3]  (0 3 0)->20 (1 1 1)->23 (0 2 1)->29 (48  0  0)->32   48
 97: [ 2/3] [20/3] [67/6]  (0 3 0)->20 (1 0 2)->23 (0 1 2)->29 ( 8  4  0)->32   12
 98: [ 2/3] [20/3] [67/6]  (0 3 0)->20 (1 0 2)->23 (0 1 2)->29 (18  3  0)->32   21
 99: [ 2/3] [20/3] [67/6]  (0 3 0)->20 (1 0 2)->23 (0 1 2)->29 (28  2  0)->32   30
100: [ 2/3] [20/3] [67/6]  (0 3 0)->20 (1 0 2)->23 (0 1 2)->29 (38  1  0)->32   39
101: [ 2/3] [20/3] [67/6]  (0 3 0)->20 (1 0 2)->23 (0 1 2)->29 (48  0  0)->32   48

[Neuling]

Woooow und Danke!

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In der Zeit der Computer ist das ja nicht mehr so schwierig.

Schön, dass du mit deinen Fähigkeiten diese Aufgabe so vervollständigen konntest. Ich kann leider so etwas nicht.

Danke, Danke, Danke !

[Otmar]

Hallo Neuling,
danke für die positive Rückmeldung zum Computereinsatz.

Aber das Rätsel ist ohne Computer mit dem Ansatz der ganzzahligen Stäbchenlänge noch viel schöner, ... ein kleines Juwel würde ich sagen.

Wenn du ganzzahlige Stäbchenlänge zur Bedingung machst und das "mindestens" so formulierst, dass Paulchen beim Legen der Zahlen immer mit einer minimal möglichen Anzahl von Stäbchen auskommt, dann wird die Lösung sogar eindeutig und der "zu Fuß" Lösungsweg eine Fundgrube für schöne Unterhaltungsmathematik. Wenn ich Zeit habe, skizziere ich mal einige Gedanken...

Und nochmal Danke für dieses Rätsel!