Parallelogramm zu Dreieck

[black]

Kurths Rätsel hat mich zu folgender Behauptung inspiriert:

"Jedes Papierstück in Form eines Parallelogramms, lässt sich so in drei Teile schneiden (gerade Schnitte), dass man mit jenen drei Teilen ein Dreieck legen kann."

Stimmt das? (Falls ja, wie? Falls nein, warum nicht?)

(Edit: Ich hab's etwas vereinfacht. Wer die 1. Version löste kann die Lsg. ja einfach auf die jetztige übertragen. )

[Schmetterlingchen]

Ich bräuchte eigentlich nur einen Schnitt. Geht natürlich auch mit zweien

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parallel2.jpg (18.4 KiB) 216-mal betrachtet

[black]

Ich bräuchte eigentlich nur einen Schnitt.

Deine Lsg. ist offensichtlich richtig.


Da hatte ich wohl doch etwas zu stark vereinfacht

Also stelle ich die ursprüngliche Frage einfach doch noch: Trapez-Version
(Hoffentlich hab ich da nicht auch eine Lsg. mit nur 2 Teilen übersehen. )

[spargeltarzan]

@black

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Die Lösung von schmetterlingchen mit dem "einen Schnitt" klappt aber nicht bei jedem Parallelogramm, oder?
Die Seitenlängen müssen doch in einem bestimmten Verhältnis stehen, sonst ist das abgeteilte Dreieck entweder zu kurz/klein oder zu lang/groß...

[black]

@spargeltarzan:

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Die Lösung von schmetterlingchen mit dem "einen Schnitt" klappt aber nicht bei jedem Parallelogramm, oder?

M.E. geht es immer

Beweisskizze:

O.B.d.A. Liege ein bel. Paralellogramm so im karthesischen Koordinatensystems des R^2, dass folgendes gelte:

A = (0; 0)
B = (g; 0)
D = (d; h)

d >= 0, h > 0

Damit es ein Parallelogramm ist folgt C = (g+d; h)

S liege genau in der Mitte zwischen C und D: S = (d + g/2; h)

Nun wird das Dreieck SBC 180° um S rotiert:

S' = S

C' = D

B' = S + (S - B) = (2d; 2h)

=>

2*(D-A) = B'- A
2*(S-B) = B'- B

D.h. die Punkte jener 2 Gleichungen liegen jeweils auf einer Geraden.

=> Dreieck ABB' immer möglich

[spargeltarzan]

Danke für die Erklärung!

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Dann hat das Dreieck SBC nicht immer einen 90°Winkel, oder?
Dieser Winkel wird nur in einem Spezialfall entstehen, wenn die Seitenlängen ein bestimmtes Verhältnis haben.

Ich glaube, ich hatte da etwas durcheinander gebracht...

[black]

@spargeltarzan:

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Dann hat das Dreieck SBC nicht immer einen 90°Winkel, oder?

i.A. nicht.

Dieser Winkel wird nur in einem Spezialfall entstehen, wenn die Seitenlängen ein bestimmtes Verhältnis haben.

Wenn b die Länge der halbierten Seite ist, a die andere Seitenlänge im Parallelogramm und alpha der nichtstumpfe Winkel im Parallelogramm, dann ist das Dreieck m.E. genau dann rechtwinklig, wenn eine der folgenden 3 Bedingungen gilt:

a) alpha = 90°
b) cos(alpha) = b / (2a)
c) cos(alpha) = (2a) / b