MP3-Player

[kurth]

Gestern hat sich mein Enkel so einen dieser Super - Hyper - MP3-Player gekauft.
Natürlich hat er sich sofort 4.000 seiner Lieblingssongs aufgespielt.
Dann ist er in sein Zimmer verschwunden. Dort hat er die Kopfhörer aufgesetzt, die
"Random" Taste gedrückt, um sich in einer Zufallsfolge volldröhnen zu lassen.

Aber einige Zeit später kam er frustriert wieder heraus.
"Dieses blöde Gerät bringt schon nach 75 von 4.000 Songs eine Wiederholung. Den letzten Titel habe ich ja sicher schon einmal gehört!
Wie ist das möglich? Das Gerät funktioniert nicht richtig - ich werde es umtauschen!"

"Naja, sagte ich, die Chance dafür liegt doch immerhin bei :

a) 10%
b) 20%
c) 30%
d) 40%
e) 50 %
f) 60%
g) 70%

Was trifft hier zu?

[Friedel]

Die Wahrscheinlicheit, dass mindestens ein Titel wiederholt wird, wenn man 75 mal zufällig einen aus 4000 Titeln auswählt ist

Mehr ->

1 − ( 4000! ÷ ( 4000 − 75 )! ) ÷ 4000⁷⁵ ≈ 0,502469089 ≈ 50%

[kurth]

Hallo Friedel!

RICHTIG!

Mehr ->

Man muß ja bedenken, daß sich aus 75 Titeln bereits 2775 (75 x 74/2) "Paare" bilden lassen.
Unter Paare meine ich, daß sich z.B.: aus A, B, C, D sechs (4 x 3/2) Paare bilden lassen:
AB, AC, AD, BC, BD, CD.
2.775 Paare sind ja fast 70% von 4.000. Aber da ein Titel mehrmals vorkommen kann, kommt man auf 50,2 %.

Viele Grüße
kurth

[Friedel]

Mehr ->

Man muß ja bedenken, daß sich aus 75 Titeln bereits 2775 (75 x 74/2) "Paare" bilden lassen. ... 2.775 Paare sind ja fast 70% von 4.000. Aber da ein Titel mehrmals vorkommen kann, kommt man auf...

Nein. Das hat mit der Aufgabe nichts zu tun. Es sind ja nicht 75 Titel sondern 4000 Titel. Und bei deinen 2775 Paaren geht es um Kombinationen mit verschiedenen Titeln! Aber die sind für die Aufgabe nicht relevant.

Wenn ein Titel aus 4000 gespielt wird, gibt es 4000 Möglichkeiten. Der 2. Titel wird auch zufällig aus den 4000 ausgewählt. Damit gibt es für jede der 4000 Möglichkeiten wieder 4000 Möglichkeiten. Insgesamt also 4000² Möglichkeiten. Wenn 75 Titel abgespielt werden, gibt es also 4000⁷⁵ mögliche Titelfolgen.

Wenn kein Titel doppelt abgespielt werden soll, gibt es für den ersten Titel 4000 Möglichkeiten. Für den 2. Titel gibt es nur noch 3999 Möglichkeiten, denn der andere Titel war ja schon. Wenn man 75 Titel abspielt, gibt es also 4000 * 3999 * 3998 * 3997 * ... * 3926 Möglichkeiten. 4000! ist 4000 * 3999 * 3998 * ... * 2 * 1 . 4000 * 3999 * 3998 * 3997 * ... * 3926 ist also 4000! / 3925!. (Bei 4000! / 3925! kürzen sich die Faktoren 1 bis 3925 heraus, sodass 3926 * 3927 * 3928 * ... * 4000 übrig bleibt.)

Die Wahrscheinlichkeit, dass es keine Wiederholungen gibt, ist also (4000! / 3925!) / 4000⁷⁵. Das sind etwa 49,98%. Die Wahrscheinlichkeit, dass es Wiederholungen gibt, ist dann natürlich 1 - 49,98% = 50,02%, denn die Wahrscheinlichkeit, dass Titel wiederholt werden oder keine Titel wiederholt werden, also beide Wahrscheinlichkeiten zusammen, ist ja 1.

[kurth]

Hmmm.....

Ich glaube, du hast recht!
Ich habe diese Lösung aus einem Buch abgeschrieben.
Das muß ich wohl noch ein wenig durchdenken......

Viele Grüße
kurth