Lichtspiel in der Spiegelwelt

[Otmar]

Zwischen zwei parallelen Spiegeln befinden sich gleichartige Platten, die einfallendes Licht verstärken und weiterleiten. Manchmal befindet sich zwischen zwei verstärkenden Platten auch eine Platte, die Licht teilweise absorbiert. Nach einer spontanen Emission in einer Verstärkerplatte entsteht ein Lichtstahl, der etwas geneigt zum Einfallslot zwischen den Spiegeln hin und her reflektiert wird und nach häufiger Reflexion durch ein kleines Loch in einem der Spiegel der Anordnung entweicht. Wie viele Platten welcher Art und Reihenfolge befinden sich zwischen den Spiegeln, wenn noch folgendes bekannt ist:

• Eine Verstärkerplatte verstärkt das Licht koherent, so dass zur Amplitude des einfallenden Lichtstrahles bei jedem Durchgang durch so eine Platte ein konstanter Betrag addiert wird.
• Spontane Emission kann man sich so vorstellen, dass ein einfallender Lichtstrahl mit der Amplitude Null entsprechend verstärkt wird. Dabei beträgt die Leistung des von der Platte emittierten Lichtstrahls genau ein Watt.
• Die Absorberplatten absorbieren keinen festen Anteil des Lichtes, sondern um so stärker, je höher die Leistung des einfallenden Lichtstrahles ist. Misst man die Lichtleistung P bezogen auf 1 Watt in Dezibel, also L = 10*log(P/1Watt), dann ändert L beim Durchgang des Lichtstrahls durch eine Absorberplatte das Vorzeichen.
• Die Leistung P des Lichtstrahls ist proportional zum Quadrat seiner Amplitude.
• Ein sehr genaues Messgerät hat die Leistung des durch das Loch im Spiegel entwichenen Lichtstrahles gemessen und 28 Watt angezeigt.
• Die Anzahl der Verstärkerplatten und die Anzahl der Absorberplatten sind teilerfremd.

[Otmar]

Nach einem Jahr möchte auch dieses Rätsel gelöst werden. Ich fange mal damit an, den mathematischen Hintergrund des physikalische Problems freizulegen:

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p sei der Zahlenwert der Leistung P in Watt. Also P=p * 1Watt.

Da P zu A² proportional ist, gilt mit dem Proportionalitätsfaktor a, (der je nach Wahl der Amplitude eine entsprechende Einheit hat)
P=a * A²=b² * A² = (b*A)² mit b²=a,
p = P/Watt = (b*A/sqrt(Watt))² = B² mit B=b*A/sqrt(Watt) B ist auch ein reiner Zahlenwert, der proportional zur Amplitude ist.
In einer Verstärkerplatte, wird die Amplitude und damit auch der Wert B um einen konstanten Betrag vergrößert. Für B sei das der Betrag D. Da ein Lichtstrahl mit Amplitude 0 (B=0) auf 1 Watt (B=1) verstärkt wird, ist D=1.

Vor einer Absorberplatte ist mindestens eine Verstärkerplatte und deshalb die Leistung P mindestens 1Watt bzw. p>=1 und logarithmisch ist
L=10*log(P/1Watt)=10*log(p).
Fügt man den Größen nach der Absorberplatte ein ' an, dann gilt:
L'=-L
10*log(p')=-10*log(p)
log(p')=-log(p)=log(1/p)
p'=1/p
B'²=1/B²
B'=1/B
-------------------
Am einfachsten kommt man zum Ziel, wenn man jetzt nur noch die Größe B betrachtet. In jeder Verstärkerplatte wird zu B die Zahl 1 hinzuaddiert und in jeder Absorberplatte wird der Reziprokwert von B gebildet und auf die folgende Verstärkerplatte geschickt.

Beispiel (nur zur Verdeutlichung, Plattenanordnung der Lösung ist anders):

Nach einer spontanen Emmission ist B=1. Danach durchläuft das Licht noch eine weitere Verstärkerplatte und erlangt B=2. Dann kommt eine Absorberplatte und es wird B=1/2, dann kommen 7 Verstärkerplatten und es wird B=7,5 und dann kommt das kleine Loch und dort ist p=7,5²=56,25. D.h. in dem Fall entweichen der Anordnung genau 56,25 Watt.

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Jetzt wird eine kleine Fleißarbeit mit Taschenrechner belohnt, wenn man in der richtigen Richtung rechnet. Das Ergebnis sollte für alle, die mit dem zugehörigen mathematische Teilgebiet nicht so vertraut sind, etwas überraschend sein.

[MadMac]

Ja, da bin ich mal. Erstes Rätsel.

Wenn man erst mal die Stolperfallen umschifft hat, dann lässt sich das wie folgt lösen:

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1. Fange ich mit dem 1W-Signal an und analysiere, in welcher Folge ich Verstärker und Dämpfer brauche, bis zufällig exakt 28W rauskommen, habe ich das Problem, dass ich jedesmal (außer unmittelbar nach einem Dämpfer) vor der Entscheidung stehe, ob ich nun eine Verstärkerplatte oder eine Dämpferplatte als nächstes einsetze. Damit wächst die Mächtigkeit meines Entscheidungsbaumes annähernd quadratisch.

Umgekehrt jedoch gibt es keine solchen Entscheidungen, sondern nur: Leistung > 1W, dann hat das Signal zuletzt eine Verstärkerplatte durchquert, Leistung <= 1W, dann war es zuletzt eine Dämpferplatte.

Also fange ich mit den 28W an und exele die Amplituden und Leistungen und Pegel rückwärts aus.

2.

Der Faktor zwischen Amplitude^2 und Leistung ist immer gleich, den lasse ich in der Betrachtung weg. Damit ändert ein Verstärker die Amplitude um 1. Ein Dämpfer bildet den Kehrwert der Leistung (und damit implizit auch der Amplitude), siehe Eigenschaften des Logarithmus.

Durch das Loch im Spiegel kommt ein Strahl mit Leistung 28W:

Amplitude: w(28) = 5,291502622
28W
14,47158031

Davor waren also 5 Verstärker, und vor denen betrug die Amplitude: 4,291502622, 3,291502622, 2,291502622, 1,291502622, 0,291502622

Davor muss ein Dämpfer gewesen sein: Amplitude: 3,430500874

3 Verstärker: Amplitude: 2,430500874, 1,430500874, 0,430500874

Dämpfer: 2,322875656

2 Verstärker: Amplitude: 1,322875656, 0,322875656

Dämpfer: Amplitude: 3,097167541

3 Verstärker: Amplitude: 2,097167541, 1,097167541, 0,097167541

Dämpfer: Amplitude: 10,29150262

5 Verstärker, und vor denen betrug die Amplitude: 9,29150262, 8,29150262, 7,29150262, 6,29150262, 5,29150262

Und hier sind wir witzigerweise wieder am Ausgangspunkt. Otmar kann sicher erklären warum

3. Die Spiegel

Die Periodizität, die ich durch Rückwärtsbetrachtung gefunden habe, ist einfach zu verlockend. Da müssen die Spiegel gleich eingesetzt werden. Da die Anzahl Dämpfer und Verstärker noch nicht teilerfremd ist, und das ganze Gebilde symmetrisch, halbiere ich die gefundene Sequenz in der Mitte und habe dann

Spiegel (mit Loch)
5 Verstärker
Dämpfer
3 Verstärker
Dämpfer
1 Verstärker
Spiegel

Das kann man nochmal vorwärts rechnen, und es zeigt sich, dass es vollkommen egal ist, aus welcher Verstärkerplatte der ursprüngliche Lichtstrahl kommt. Das Ergebnis am oberen Spiegel konveriert (numerisch ermittelt, nicht bewiesen) rasch gegen 5,29150262, ergo, 28W.

Gruß,
MadMac

[Otmar]

Hallo MadMac,

und vielen Dank dafür, dass Du den Lichtstrahl endlich aus seiner Spiegelfalle befreit hat. Die Lösung ist richtig und ich werde bald mal eine Erklärung einstellen. Kommt jetzt auf ein zwei Tage nicht an.

[Otmar]

Der Lösung von MadMac gibt es nur wenig hinzuzufügen. Die Stolperstellen hatte ich in meinem ersten Tipp versucht auszuräumen.

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Da blieb übrig, dass eine Zahl B betrachtet werden muss, die sich in einem Verstärker um 1 vergrößert und in einer Dämpfungsplatte der Reziprokwert gebildet werden muss.

Rückwärts erhält man eine Näherung für B, wenn vor dem zu B gehörenden Lichtstrahl so viele Verstärker stehen, wie der Ganzzahlteil von B ist und dann eine Dämpferplatte kommt, die den Teil von B nach dem Komma invertiert und damit wieder ein Zahl größer als 1 entsteht mit der man wieder so verfährt, wie mit dem ursprünglichen B.

Also
B = g1 + f1
1/f1 = g2 + f2
1/f2 = g3 + f3
....
oder

B= g1 + 1
       -------------------
       g2 + 1
            --------------
            g3 + 1
                 ---------
                   .....

Das ist genau eine Kettenbruchzerlegung. Und alle irrationalen Wurzeln aus ganzen Zahlen haben so eine schöne Symmetrieeigenschaft in der Kettenbruchzerlegung, die hier für das Spiegelrätsel verwendet wurde.

Satz von Euler-Lagrange

Die Probe, zu MacMads Lösung kann man natürlich auch ohne Kettenbruchtheorie zu Fuß machen. Dazu nimmt man die gefundene Anordnung und prüft, ob B² = 28 sich bei einem Vor- und Rücklauf durch die Spiegel nicht ändert, oder man fragt nach der Größe x, die sich bei Vor- und Rücklauf durch die Spiegel nicht ändert.

Dann hätten wir:
x=5+1/(3+1/(2+1/(3+1/(5+x))))
von hinten:
3+1/(5+x) = (16+3x)/(5+x)
2+(5+x)/(16+3x) = (37+7x)/(16+3x)
3+(16+3x)/(37+7x) = (127+24x)/(37+7x)
5+(37+7x)/(127+24x) = (672+127x)/(127+24x)=x

672+127x=127x+24x²
x²=672/24=28

Also es stimmt ganz exakt. Man sieht bei der Umformung, dass bei einem periodischen Kettenbruch für die Zahl x am Ende eine quadratische Gleichung in x übrig bleibt, wodurch der einfache Teil des Satzes von Euler und Lagrange schon bewiesen wäre.