Bei meinem Lösungsansatz die Bogenlänge einer vollen Sinus-Schwingung, ohne Integralrechnung zu berechnen, setzt die Akzeptanz einer Näherung voraus.
Man innere sich, dass Sinuskurven auch durch ebene Zylinderschnitte, beim abrollen derer Mäntel, zutage kommen.
Bekanntlich wird im Allgemeinen der ebene Zylinderschnitt in einer Ellipse geschnitten, demnach lässt sich eine Sinuskurve durch den Umfang einer Ellipse darstellen.
Da der Ellipsenumfang, ohne Integralrechnung, nur durch eine Näherungsformel bestimmt werden kann, ist diese heran zuziehen.
Wenn man diese Kenntnisse nun auf die erste Behausungsfläche von Elli bezieht, erkennt man, dass hier nur die halbe Länge (36cm/2) der Fläche, die Periodenlänge berücksichtigt werden darf, da sich die Sinuslinie (hier eigentlich eine Kosinuslinie) ja in zwei Perioden über die Rechtecksfläche (R) schlängelt.
Flächenlänge (R) l=36cm
Flächenhöhe (R) h= 4cm
Periodenanzahl (R) p=2
Periodenlänge (R) lp=l/p lp=36cm/2 lp=18cm
Ellipsenumfang (R) u (für eine Periode)
Sinuslinienlänge (R) S= u * P
Um nun die Sinuslinie einer Periode gedanklich in einer Ellipse darzustellen, rollt man die Hälfte der Fläche zu einem Zylindermantel mit dem Umfang von 36cm/2 zusammen. Nun legt man den ebenen Zylinderschnitt, nach der Vorgabe der Amplitudenhöhe der Sinuslinie, von einem oberen Rand des Zylinders diagonal zu seinem gegenüberliegenden unteren Zylinderrand.
Wie schon beschrieben, erhält man als Schnittfläche eine Ellipse, wo der Umfang (u) wie folgt näherungsweise über die beiden Halbachsen des großen Radius (a) und des kleinen Radius (b) berechnet werden kann.
Näherungsformel des Ellipsenumfangs (u)
U=Pi(a+b) {1+ (3Y^2)/[10 + (4-3Y^2) ^1/2]} wobei Y = (a-b)/(a+b) (Quadratwurzel = ^1/2)
http://www.mathematik.ch/anwendungenmat ... senumfang/ (!!!Nur ganze Zahlen)
Die beiden Radien a und b lassen sich nun wie folgt berechen.
a={[(lp/Pi)^2 +h^2]^1/2}/2 a={[(18cm/Pi)^2 +4cm^2]^1/2}/2 (Quadratwurzel = ^1/2)
a= 3,494cm
b=lp/2Pi b=18cm/2Pi b=2,865cm
=> u=20,02628313934
S =p * u S=2*20,02628cm
S=40,05cm
So nun kommen wir zur zweiten Behausung von Elli. Hier kann sich Elli in der Form einer Ellipse in den Kreisring legen.
Der Ellipsenumfang lässt sich nun mit der oberen Näherungsformel berechnen.
Die beiden Radien a und b lassen sich nun wie folgt berechen.
a=(l+2*h)/2Pi a=(36cm + 2*4cm)/2Pi a=7,00cm
b=l/2Pi b=36cm/2Pi b=5,73cm
Aus der obigen Näherungsformel des Ellipsenumfangs (u) ergibt sich für
U=40,10cm
Da Elli S=40,05cm kleiner als der Ellipsenumfang u=40,10cm ist, kann sie sich sehr gut in der Form einer Ellipse in den Kreisring legen.
Ich hoffe, Ihr konntet meinen Ausführungen folgen.
Gruß
Musagetes
