Digitalwaage

[black]

Gegeben sei eine Digitalwaage, die groß, stabil und genau genug sei.

Nun existiert unter n Münzbeuteln mit je 10 Münzen genau ein Münzbeutel mit 10 falschen Münzen.
(Die anderen n-1 Beutel beinhalten je 10 richtige Münzen.)
Alle Münzen sehen gleich aus, aber während eine richtige Münze m1 wiegt, ist eine falsche m2 schwer.
m1 und m2 sind unterschiedlich und bekannt.

Die Masse der Münzbeutel ist unbekannt. Da man sie aber öffnen und die Münzen heraus nehmen kann, ist das kein Problem.

Die Digitalwaage darf nun dreimal bepackt werden und gibt dreimal das jeweilige Gesamtgewicht aus.

Fragen:

1. Wie groß darf n maximal sein, damit die falschen Münzen auf jeden Fall gefunden werden können?
2. Wie muss man dazu vorgehen?


Viel Spaß beim Münzsäckeschleppen.

[kurth]

Ich denke einmal:

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n = maximal 31

Mal sehen, ob das stimmt.

lg kurth

[black]

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n kann sehr viel größer sein.

Sogar ne Primzahl.
Wie kamst du denn drauf? Vll. geht ja der Gedanke in die richtige Richtung.

[kurth]

Hallo Black!

Naja,

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ich habe halt eine sehr bekannte Variante umgewandel:
Sie funktioniert allerdings bei volleren Säcken (z.b 100 Münzen) besser -

Man nimmt vom ersten Sack eine, vom zweiten Sack zwei..............vom zehnten Sack zehn Münzen.
Ist dann der Gewichtsunterschied der Münzen z.B. 1 dag wären es beim sechsten Sack 6 dag - usw

Bei drei Wiegedurchgängen wären so 30 Säcke möglich.
Ist bei den 30 Säcken kein falscher dabei, wäre es natürlich der 31.

Da muß ich halt noch ein bißchen überlegen........

lg kurth

Natürlich:

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geht es auch mit 40 Säcken:

ich wiege im ersten Durchgang 20 Säcke- entweder sind die falschen dabei, sonst sind unter den anderen 20.
Im zweiten Durchgang von den entsprechenden zehn - entweder sind die falschen dabei, sonst sind sie unter den anderen 10.
Im dritten Durchgang wie oben beschrieben: Ich wiege vom ersten Sack eine, vom zweiten Sack zwei......vom zehnten Sack zehn Münzen.
Usw.
Aber SEHR viel größer ist das auch nicht........

lg kurth

[Hans-Peter]

Bi Black,

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bei 10 Säcken geht das mit einer Wägung. Eine Münze aus Sack 1, 2 aus Sack 2 usw.

Bei 100 Säcken stelle ich mir eine quadratische Anordnung der Säcke vor.
10 Zeilen a 10 Spalten.
Aus allen Säcken der Zeile 1 nehme ich eine Münze, aus allen Säcken der Zeile 2 nehme ich 2 Münzen usw.
Damit finde ich die Zeile heraus, in der der falsche Sack steckt. Das war dann Wägung 2.

Fazit: 10 Säcke backt man mit einer Wägung ab. Jede weitere Wägung erhöht die Potenz um 1. Oder so .

Horridoh, H.-P.

[black]

Hallo ihr beiden,


@kurth:

Der von dir angesprochene Fall (1x Wiegen 100 Säcke a 100 Kugeln), den ich mal bei Columbo sah, hat mich zu diesem Rätsel inspiriert.
Du verschenkst aber leider zu viel mögliche Informationen, da ...

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... dein Ansatz zu sehr in Richtung Summe geht, während bei Kombinationen (3x Wiegen) ja häufig Produkte relevant sind.
Daher war ich auch verwirrt, dass dein 1. Vorschlag ausgerechnet eine Primzahl war.

@Pans-Peter:

Das ist schon nah an der Lösung, verschenkt aber auch noch etwas, das ...

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... in Kurths Erklärung zur 31 schon an klang.

Auf welches Maximum kommst du denn bei 3 Wägungen genau?


Gruß

black

p.s.: (siehe Beitragszähler)

[Hans-Peter]

Hi Black,

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bei der 31er Lösung hat man noch mit dem Fall gerechnet, dass in den gewogenen 30 Säcken alles gestimmt hat, so dass der Falschgeldsack der (nicht gewogene) Sack Nr 31 sein muss.
Auf meinen Fall mit den Säcken a 10 Münzen: n = 11^3

Im Einzelnen:
n=11
10 Säcke kann man wiegen. Ist da nichts, muss es Sack 11 sein. Erste Wägung.
Zweite Wägung: n=11^2
Stelle die Säcke im Quadrat auf. 11 Zeilen, 11 Spalten. Dann nimm aus 10 (der 11) Säcken der 1. Zeile je eine Münze, aus den 10 (von 11) Säcken der Zeile 2 je 2, usw.
Wieder ist es so, dass jede weitere Wägung die Potenz von 11 um eins erhöht.

Horridoh, H.-P.

[Hans-Peter]

Hi Black,

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aber schau mal, meine erste Lösung war doch einfach, logisch, nahe an der Wahrheit und schnell gefunden. Also gerade Ingenieursgerecht. Genau genommen ist es ja nicht richtig. Und bei höheren Potenzen würde es zunehmend sehr viel schneller und stärker auseinanderdriften. Aber: Auf der sicheren Seite war ich damit schon mal. Ich habe mich mit der Zahl der Säcke nicht übernommen!

Horridoh, H.-P.

[black]

Hallo Hans-Peter,


überlassen Ingenieure immer anderen das Rechnen oder wollen sie sich nicht auf Zahlen festlegen lassen?
Jedenfalls hast du wieder kein Ergebnis gepostet.

Und ganz streng genommen, hast du weder geschrieben, wie es für den Fall der 3 Wägungen funktioniert, noch, warum es keine andere Möglichkeit gibt, unter noch mehr Säcken den falschen zu finden.

Aber das wird sicher noch.


Gruß

black

[Hans-Peter]

Hi Black,

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eine Zahl habe ich nicht genannt und das Verfahren auch nicht beschrieben. Das ist wohl wahr. Somit war alles nur spekulatives Gesülze. Womöglich war ich zu faul, das näher zu beschreiben. Aber jetzt probiere ich es mal und nenne Zahlen.
Die echten Münzen sind z. B. je 100 g schwer, die falschen nur 99. Das ist natürlich nur ein Beispiel, aber die Gewichte sind ja bekannt.
Pro Sack habe ich nur 10 Münzen. Jedem der Säcke präge ich eine charakteristische Größe auf. Bei nur 10 Münzen pro Sack geht das 11 mal. Ich nehme also das Maximum von 11 Säcken.
Erste Wägung mit Sack 1 bis 11:
Eine Münze aus Sack 1
Zwei Münzen aus Sack 2
...
Neun Münzen aus Sack 9
Zehn Münzen aus Sack 10
Keine Münze aus Sack 11
Diese 55 Münzen wiegen 5500 g, wenn alle echt sind und der Falschgeldsack die Nummer 11 ist, weil ich aus Sack 11 nichts genommen habe.
Wenn aber Sack 1 der Falschgeldsack ist, müßte die Wage 5499 g anzeigen. Weil ich nur eine um ein g leichtere Münze aus Sack 1 genommen habe.
Wenn Sack 2 der Falschgeldsack ist, habe ich 5498 g auf der Wage.
Bei Sack 3 hätte ich 5497 g usw.

Damit ist gezeigt, bei nur 10 Münzen pro Sack und 11 Säcken kann ich den Falschgeldsack mit einer Wägung auf der Digitalwage bestimmen. Das Ergebnis der ersten von zwei Wägungen muss aus 11 fraglichen Säcken bestehen.

Also lege ich die 11 Säcke in einer Zeile aus.
Darunter lege ich eine zweite Zeile aus, im quadratischen Muster, darunter eine dritte, ... darunter zu guter Letzt eine zehnte.
Damit habe ich 11 * 10, also 110 Säcke.
Aus Zeile 1 nehme ich eine Münze aus Sack eins bis zehn und KEINE aus Sack 11
Aus Zeile 2 nehme ich zwei Münzen aus Sack eins bis zehn und KEINE aus Sack 11
...
Aus Zeile 10 nehme ich zehn Münze aus Sack eins bis zehn und KEINE aus Sack 11
Damit habe ich insgesamt 550 Münzen entnommen, die 55000 g wiegen müßten, wenn alle echt wären.
Die gesuchten Münzen wären demnach in Spalte 11. Und das wären nur zehn Münzen, weil ich ja nur 10 Zeilen nehmen darf. Also kann ich (in diesem speziellen Fall) noch einen Sack dazupacken. 111 Säcke wären es dann.
Was ist aber, wenn ich 54995 g angezeigt bekomme? Ein Delta von 5, von fünf falschen Münzen? Fünf Münzen habe ich doch nur den Säcken der Spalte 5 entnommen. Und das sind auch wieder insgesamt 10 Säcke, weil es ja nur 10 Zeilen sind. 11 Säcke kann ich eindeutig zuordnen, so dass ich wieder einen dazulegen könnte. Also wäre ich wieder bei 111 Säcken.
Analog gehe ich mit den anderen Spalten vor. Damit bekomme ich immer 10 Säcke pro Spalte und kann noch nachträglich einen dazulegen.
D.h., bei zwei Wägungen schaffe ich 111 Säcke. Damit ist mein zweiter Lösungsansatz widerlegt.

Aber da ist noch eine Wägung, die das Resultat von 111 Säcken liefern muss.
Wieder kann ich eine Matrix mit 11 Spalten bilden und 110 Zeilen bilden. Oder so ähnlich.
Kann nicht mehr genau darüber reflektieren. Wahrscheinlich bin ich bei 1211 ???

horridoh, H.-P.