Der schnellste Weg II Rätsel ist gelöst

Alle Rätsel, die ein wenig Nachdenken erfordern.

Re: Der schnellste Weg II

Beitragvon MadMac » Freitag 4. November 2016, 08:52

@Musagetes:

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Vergleiche mal Deine Lösung mit der "Triviallösung" einer schnurgeraden Strecke. Diese ist nach w(90^2+60^2+60^2) = 123,7km allerspätestens zu Ende.


@Otmar:

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Das ist meine Musterlösung. Natürlich kann man hier noch optimieren, ähnlich wie bei der 2-D-Variante. Bei der konnte man das allerdings recht einfach analytisch machen. Hier habe ich aber die ganz starke Vermutung, dass die Abhängigkeiten der verschiedenen Wegstücke untereinander das ganz schön kompliziert machen. Ich hatte mal unter noch relativ einfachen Vorgaben numerisch ausgeexcelt, dass es tatsächlich kürzer geht. Richtig lustig wird es wahrscheinlich, wenn man von den Halbkreisen abweicht (also mehr oder weniger als 180° Umrundungen geht) und damit auf dem jeweils anderen kreisförmigen Kurvenabschnitt den Radius variabel macht (oder vielleicht auch nur den Mittelpunkt verschiebt). Eine PRINZIPIELL andere Zusammenstellung von Kurvenformen halte ich als Optimum für sehr sehr unwahrscheinlich.
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Re: Der schnellste Weg II

Beitragvon MadMac » Freitag 4. November 2016, 14:53

Für alle, weil's nachgefragt wurde: Wie findet man hier die (oder eine) Lösung?

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Erster Ansatz ist immer erst mal eine direkte gerade Linie. Die würde spätestens in der am weitesten entfernten Ecke zum Ziel führen. Wegstrecke: w(90^2+60^2+60^2) = 123,7km.

Was ich noch in Betracht gezogen hatte, waren mehrere gerade Teilstücke mit dem Ziel, dann doch vor der am weitesten Entfernten Ecke rauszukommen. Da führten einige Überlegungen dazu, dass das wenig aussichtsreich ist - aber ich lasse mich gerne eines besseren belehren ;-).

Was nun die Musterlösung anbelangt:
Stellt Euch eine Kugel mit Radius 10 um den Startpunkt vor. Genau ein Punkt auf dieser Kugel berührt den am nächsten gelegenen Waldrand. Wenn ich mich exakt auf diesem Waldrand befinde, kann ich exakt diesen Punkt der Kugel sehen.

Drehen wir den Spieß um: Nehmen wir an die Kugel sei nicht durchsichtig, aber der Wald schon. Wenn ich eine Kurve finde, von der aus ich JEDEN Punkt auf der Oberfläche wenigstens einmal habe sehen können, dann muss ich auch genau diesen einen Punkt wenigstens einmal gesehen haben, wobei ich mich dann auf dem Waldrand befunden hätte (und damit frei wäre).

Eine weitere Überlegung: Stelle ich mich direkt auf die Kugeloberfläche, kann ich genau nur einen Punkt dieser sehen.
Stelle ich mich außerhalb der Kugel hin, sehe ich einen Kugelabschnitt mit kreisrunder Grundfläche. Je weiter ich weg bin, desto größer wird dieser Abschnitt, aber es ist immer weniger als eine Halbkugel. Ergo, zu weit weg bringt nix. Irgendwo muss es einen idealen Abstand geben.

Wie findet man dann die passende Kurvenform: Teils systematisch, teils experimentell.

Systematisch: Polyederecken ablaufen. Die Kugel muss eine In-Kugel des Polyeders sein (womit man bei Wikipedia die Formeln recherchieren kann, die die Kantenlängen bestimmen). Auf dem Tetraeder ist man tendentiell zu weit weg von der Kugeloberfläche (suboptimal), auf höhren Polyedern macht man tendentiell Umwege nahe der Kugeloberfläche.

Zylinder habe ich auch überlegt.

Der nächse Schritt war eine Kombination aus Polyederecken (vornehmlich das Oktaeder) und Kreisbahnen. Und irgendwann kam dann die Idee. Hilfreich war die Überlegung weiter oben (ich stehe außerhalb der Kugel und sehe einen Kugelabschnitt mit kreisrunder Grundfläche). Mache ich das über zwei willkürlich gewählten "Polen" brauche ich hernach noch eine Bahn über dem "Äquator".

Entscheidend war dann nur noch der Transfer zu den halbkreisförmigen Bahnen.

Anschauliche Beispiele: Tennisball, oder formt mal mit zwei Händen einen Schneeball.


Gruß,
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