Dänische Flagge

[Rama]

Hallo Leute,

die Dänische Flagge taucht so selten irgendwo auf, dass vehältnismäßig wenig Leute wissen, dass auf ihr ein weißes Kreuz auf rotem Untergrund zu sehen ist. - Und mir war früher nicht bekannt, dass sie bestimmten Regeln unterliegt. (Wenn ich die dänischen Flaggen aus der Erinnerung rufe, die die ich bisher gesehen habe und sehe, - ist das heute noch nicht so.) Diese Regeln besagen, dass die Hälfte der Flaggenfläche weiß zu sein hat. Wenn wir zum Beispiel annehmen, dass die Ausmaße der Flagge 5 Fuß in der Breite und 7,5 Fuß in der Länge beantragen, wie viele unserer Rätselfreunde können mir dann eine einfache Regel nennen, nach der man die Breite der Balken eines weißen Kreuzes angeben kann, das genau die Hälfte der Fläche bedeckt?

LG Rama

[spargeltarzan]

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Bei einem Verhältnis von 3 zu 4 (Breite zu Länge) wäre es sehr einfach. Da müsste man nur die Breite durch 3 teilen.
Bei einem Verhältnis von 2 zu 3 wie hier, müsste man den Faktor finden, durch den die Breite zu teilen ist.
Ich dachte, ich hätte ihn mit 2,857142867 gefunden, aber bei der Probe hat es nicht mehr gestimmt.
Würde dieser Faktor stimmen, wäre die Breite des Kreuzes 1,75.

Ich muss wohl weiter

[sax]

Wahrscheinlich ist dies nicht die gesuchte einfache Lösung, aber zumindest eine Lösung.

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Ich gehe mal davon aus, das der vertikale und der horizontale Streifen gleich breit seien sollen. Die Breite der Fahne nenne ich mal a, die Höhe nenne ich b und die Breite der Streifen nenne ich l.
Die Fläche der Fahne ist dann AF=a*b.
Die Fläche der beiden Streifen ist dann: AS=a*l+b*l-l^2=(a+b)*l-l^2,
da die beiden Streifen jeweils Rechecke mit der länge a, bzw. b und breite l bilden. Der Teil in dem sich die Rechtecke überschneiden bildet ein Quadrat mit der Seitenlänge l. Dieses muss man wieder abziehen, da man es sonst doppel zählt.
Es soll gelten
2*AS=AF
l^2-(a+b)*l+1/2*ab=0
l=(a+b)/2 pm* sqrt( (a+b)^2/4-1/2*ab )
l=(a+b)/2 pm sqrt(a^2+b^2)/2
Das Plus kann man ausschließen, da l dann entweder größer als a oder größer als b wäre**.
Also
l=(a+b)/2-sqrt(a^2+b^2)/2.
Damit komme ich auf eine Streifenbreite von 1.74306090567001348... Fuß.

*pm plus/minus
**angenommen (a+b)/2 < a und (a+b)/2<b
dann folgt durch Addition: (a+b)<(a+b), was ein widerspruch ist, also
folgt (a+b)/2 kann nicht gleichzeitig kleiner als a und als b sein.
mit (a+b)/2+irgendwas positives > (a+b)/2
folgt dann die Aussage

edit: Tippfehler verbessert.

[Rama]

Hallo sax

Wahrscheinlich ist dies nicht die gesuchte einfache Lösung, aber zumindest eine Lösung.

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Ich gehe mal davon aus, das der vertikale und der horizontale Streifen gleich breit seien sollen. Die Breite der Fahne nenne ich mal a, die Höhe nenne ich b und die Breite der Streifen nenne ich l.
Die Fläche der Fahne ist dann AF=a*b.
Die Fläche der beiden Streifen ist dann: AS=a*l+b*l-l^2=(a+b)*l-l^2,
da die beiden Streifen jeweils Rechecke mit der länge a, bzw. b und breite l bilden. Der Teil in dem sich die Rechtecke überschneiden bildet ein Quadrat mit der Seitenlänge l. Dieses muss man wieder abziehen, da man es sonst doppel zählt.
Es soll gelten
2*AS=AF
l^2-(a+b)*l+1/2*ab=0
l=(a+b)/2 pm* sqrt( (a+b)^2/4-1/2*ab )
l=(a+b)/2 pm sqrt(a^2+b^2)/2
Das Plus kann man ausschließen, da l dann entweder größer als a oder größer als b wäre**.
Also
l=(a+b)/2-sqrt(a^2+b^2)/2.
Damit komme ich auf eine Streifenbreite von 1.74306090567001348... Fuß.

*pm plus/minus
**angenommen (a+b)/2 < a und (a+b)/2<b
dann folgt durch Addition: (a+b)<(a+b), was ein widerspruch ist, also
folgt (a+b)/2 kann nicht gleichzeitig kleiner als a und als b sein.
mit (a+b)/2+irgendwas positives > (a+b)/2
folgt dann die Aussage

edit: Tippfehler verbessert.

das sieht interessant aus. - Ich hätte noch eine Bitte: Könntest Du ...

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... eine Probe mit seinen jeweiligen Seitenverhältnissen und der 9 Flächen machen die sich daraus ergeben?
Deren Summe, müsste ja wieder die Gesamtfläche ergeben. Und die Summe der 5 weißen Flächen, muss ja genauso groß sein, wie die 4 roten Flächen; deren Summe, müsste ja wieder die Hälfte der Gesamtfläche ergeben.

LG Rama

[sax]

Na gut , ich mache mal die Probe, aber nicht ganz so wie du es gefordert hast.

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skizze.jpg (14.57 KiB) 125-mal betrachtet

Die rote Fläche ist AR=A1+A3+A7+A9. Offensichtlich kann ich die Streifen beliebig hin und herschieben ohne etwas an dem Verhältnis roter Fläche zu weisser Flächen zu ändern, deshalb mache ich jetzt folgendes:

skizze2.jpg (11.13 KiB) 125-mal betrachtet

Der Flächeninhalt der roten Fläche ist also
AR=(a-l)*(b-l)
AR=(5 ft-1.74306090567001348 ft)*(7.5 ft-1.74306090567001348 ft)=18.75 ft^2
Die weisse Fläche hat den Inhalt
AW=a*l+b*l-l^2=18.75 ft^2
Die Gesamtfläche ist
AG=a*b=37.5 ft^2=AW+AR.
Es stimmt also.

[Rama]

Na gut , ich mache mal die Probe, aber nicht ganz so wie du es gefordert hast.

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skizze.jpg

Die rote Fläche ist AR=A1+A3+A7+A9. Offensichtlich kann ich die Streifen beliebig hin und herschieben ohne etwas an dem Verhältnis roter Fläche zu weisser Flächen zu ändern, deshalb mache ich jetzt folgendes:

skizze2.jpg

Der Flächeninhalt der roten Fläche ist also
AR=(a-l)*(b-l)
AR=(5 ft-1.74306090567001348 ft)*(7.5 ft-1.74306090567001348 ft)=18.75 ft^2
Die weisse Fläche hat den Inhalt
AW=a*l+b*l-l^2=18.75 ft^2
Die Gesamtfläche ist
AG=a*b=37.5 ft^2=AW+AR.
Es stimmt also.

Hallo sax, - das ist wirklich sehr gut, ... ... und das ging ja auch schnell ...

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... und erklärt, wie sich Flächen ergeben. wirklich gut auch mit der Verschiebetechnik, womit ich mich noch 'n bisschen beschäftigen muss. - Es wär schön, wenn die Formeln jeweols nach A1 bis A9 umgestellt würden, und dass man danach in einer Additionsliste die Summen erkennen kann. Deine Formeln beweisen das zwar, aber ...

(Ehrlich gesagt, an der Stelle war ich stecken geblieben. Ich hab' da zwar noch ne' andere Formel, aber damit kann ich auch nicht in die Einzelrechnung einsteigen. - Spargeltarzan hat zwar auch schon damit begonnen, doch scheint das wirklich nicht einfach zu sein.)
... es würde mich freuen, wenn das mit der Umstellungsliste und Summenliste ginge.

LG Rama

[Friedel]

Eine sehr schöne Aufgabe und eine mindestens so schöne Lösung. Aber meiner Meinung nach sollte man darauf hinweisen, dass die Dänische Fahne nicht wirklich so aussieht. Weder das Seitenverhältnis noch die anderen Angaben sind so, wie sie hier beschrieben sind. Wer's genauer wissen will, kann auf http://de.wikipedia.org/wiki/Flagge_D%C3%A4nemarks nachlesen.

[Rama]

Hallo Friedel, - das stimmt.

In Klammer habe ich auch darauf hingewiesen. Und heutzutage ist die dänische Flagge gar nicht mehr so selten zu sehen.

Hallo Leute,

... (Wenn ich die dänischen Flaggen aus der Erinnerung rufe, die die ich bisher gesehen habe und sehe, - ist das heute noch nicht so.) ...

Damit meine ich, das die Regeln noch nicht so, wie damals gelten. Das Rätsel beruft sich aber auf eine solche Aussage. Wenn man sie an den Geschäften, oder sonstwo sieht, - sieht man, dass die Balken deutlich schmaler sind.
für den Hinweis; und gut zu wissen, - da es ohnehin ein direktes Nachbarland von uns ist.

LG Rama

[Rama]

Hallo sax,

ich habe die Probe über die einzelnen Felder gemacht, und muss festellen ...

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... diese Antwort ist haargenau die richtige Antwort, die gesucht wurde!

Es gibt noch eine einfachere Formel, ...

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... in dem man die Hälfte der Diagonale vom einem viertel den des Umfangs abzieht.

LG Rama

[sax]

Es gibt noch eine einfachere Formel, ...

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... in dem man die Hälfte der Diagonale vom einem viertel den des Umfangs abzieht.

LG Rama

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Das ist dann die selbe Formel: Umfang=2*(a+b). Diagonale=sqrt(a^2+b^2). l =1/2(a+b)-1/2 sqrt(a^2+b^2).
Die Herleitung ist bestimmt einfacher?