Unwissenheit schafft Wissen

[black]

Um die Logik-, Gedächtis- und Kopfrechenfähigkeiten zweier Schüler (Anja und Max) zu testen,
stellt ihnen ihr Lehrer folgende Aufgabe:

"Ich denke mir zwei unterschiedliche Zahlen von 1 bis 99 aus, also aus {1,2,...,99}.
Dann nenne ich Anja die Summe der Zahlen, Max das Produkt.
Ihr dürft abwechselnd nur sagen, ob ihr das Zahlenpaar kennt oder nicht."

Gesagt, getan. In der Folge entwickelt sich folgender Dialog:

Max:  "Ich kenne das Zahlenpaar nicht."
Anja: "Ich kenne das Zahlenpaar nicht."
Max:  "Ich kenne das Zahlenpaar nicht."
Anja: "Ich kenne das Zahlenpaar nicht."
Max:  "Ich kenne das Zahlenpaar nicht."
Anja: "Ich kenne das Zahlenpaar nicht."
Max:  "Ich kenne das Zahlenpaar jetzt."
Anja: "Ich auch."

Max und Anja sind wirklich außergewöhnliche Talente bzgl. Gedächtis, Kopfrechenfähigkeiten
und Logik. Ihnen ist kein Fehler unterlaufen.


Welche Zahlen dachte sich der Lehrer aus?

(Kein Beweis erforderlich. Falls jemandem aber ein kurzer einfällt: Immer her damit! )

[Hans-Peter]

Hi Black,

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ich denk mal, wenn zwei Primzahlen genommen werden, so ist das Produkt eindeutig wieder in diese Faktoren zu zerlegen. Prim scheidet also aus. Dann gilt das Komutativgesetz. Und der Rest muss mehrdeutig sein. Sowohl bei der Summe, wie auch beim Produkt. Aber was bleibt da?

Erst mal nachdenken. Vielleicht ist ja Kurth schneller....
Horridoh, H.-P.

[black]

Hallo Hans-Peter,

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..., wenn zwei Primzahlen genommen werden, so ist das Produkt eindeutig wieder in diese Faktoren zu zerlegen. Prim scheidet also aus.

Damit's nicht in die falsche Richtung geht: 2*3 = 1*6

Vielleicht ist ja Kurth schneller....

Falls du, er oder jemand anderes in einer Woche nicht so drauf kommen, kannst du's gerne per Programm lösen.

@all: bzw. ne klevere Idee

[Hans-Peter]

Hi, ich wieder.

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Die Summe muss < 100 sein. Max bekommt aber deren Produkt genannt. Er kann es nicht in 2 Primzahlen zerlegen. Also weiss er das Zahlenpaar nicht. Anna hört das. Ihre Summe besteht also nicht aus einer, die man mit zwei unterschiedlichen Primzahlen bilden kann. Sie weiss die Lösung nicht und sagt das auch.
Diese Zahlenpaare, die NICHT in Frage kommen können, wissen sie jetzt.
Max, der sich darüber im klaren ist, dass man jede Zahl in ein Produkt von Primzahlen zerlegen kann, spekuliert, dass Anna eine Summe aus 3 Primzahlen hat, die < 100 ist. Flugs rechnet er alle Möglichkeiten aus und stellt -zu seinem Bedauern- fest, dass sein Produkt wieder nicht in entsprechende Primzahlen (die ja zusammengezählt < 100 sein müssen) zerlegbar ist. Denn wenn das ginge, hätte er die Lösung. So muss er sagen, er weiss es nicht. Usw. Oder denke ich da ganz falsch?

H.-P.

[black]

Hi, ich auch wieder

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Die Summe muss < 100 sein.

Nein. Warum?

Max bekommt aber deren Produkt genannt. Er kann es nicht in 2 Primzahlen zerlegen. Also weiss er das Zahlenpaar nicht.

Wie oben schon mal geschrieben 2*3=1*6.
Da die 1 mit im Spiel ist, wird's mit dem Ansatz Primzahlzerlegung m.E. (zumindestens unmittelbar) nichts.
Wenn Max als Produkt eine Primzahl genannt bekäme, könnte er sicher sein.

Außerdem nehmen beide nichts an! Sie wissen oder wissen nicht.

Oder denke ich da ganz falsch?

Nö, die Eindeutigkeit der Zerlegung ist schon entscheident.

[kurth]

Hmmm.......

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Das erinnert mich sehr an das sogenannte "Luzifer - Rätsel." ( dort mit Gauss + Euler)
Nur noch etwas komplexer.
Aber ich kein so guter Kopfrechner wie Max und Anja.
Da muß ich wohl mal ein Progrämmchen erstellen.
Leider bin ich zur Zeit etwas beschäftigt. (Ich baue gerade bei meinem Sohn ein Schwimmbecken)
Mal sehen........

lg kurth

[Hans-Peter]

Hi Black,

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Die Summe ist < 100 ??? FALSCH.
Dein Einwand ist dagegen richtig.
Ich hätte die Aufgabe genauer lesen sollen.

H.-P.

[black]

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Das erinnert mich sehr an das sogenannte "Luzifer - Rätsel." ( dort mit Gauss + Euler)
Nur noch etwas komplexer.

Jep, das kann man aber zahlentheoretisch besser lösen (v.a. da die 1 raus ist).
Wobei man sich aber auf eine unbewiesene Vermutung stützt oder behauptet, dass andere sie für den relevanten Bereich schon geprüft haben. So kann man sich das Leben auch erleichtert.

Aber ich kein so guter Kopfrechner wie Max und Anja.
Da muß ich wohl mal ein Progrämmchen erstellen.

Ich hätte z.Z. auch keine kurze Lösungsidee.
Daher genügt die Lsg. - notfalls per PC.
(Denn selbst wenn jemand alles im Kopf rechnen kann, wäre das auch nicht beweiskäftiger als ein PC-Programm. )

Hoffe aber immer noch auf einen Trick.

Mit hat eben die Idee 'Unwissenheit schafft Wissen' gefallen. Ich hätte es übrigens auch auf 12x treiben können (natürlich mit anderem Ergebnis), aber ich wollte es nicht zu sehr übertreiben.

[kurth]

Hmmmmmmmmmmm......

Jetzt habe ich mein Progrämmchen einmal laufen lassen:

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Ich habe es allerdings nur bis Zahlen < 50 verwendet.
Hereingeschrieben habe ich dann nur Kombinationen < 30.
Danach gibt es m.M. sowieso zu viele Möglichkeiten.

1) Also Anja weiß, daß Max aus dem Produkt nicht auf die Summe schließen kann.
Daher kann die Summe nicht aus der Summe zweier Primzahlen gebildet sein.
Anja hat daher eine der folgenden Summen :
11, 17, 23, 27, 31 .....usw

Nun kann man die Summen aus verschiedenen Kombinationen bilden:

11: 10+1, 9+2, 8+3, 7+4, 6+5,
17: 16+1, 15+2, 14+3, 13+4, 12+5, 11+6, 10+7, 9+8,
23: 22+1, 21+2, 20+3, 19+4, 18+5, 17+6, 16+7, 15+8, 14+9, 13+10, 12+11,
27: 26+1, 25+2, 24+3, 23+4, 22+5, 21+6, 20+7, 19+8, 18+9, 17+10, 16+11, 15+12, 14+13,
29: 28+1, 27+2, 26+3, 25+4, 24+5, 23+6, 22+7, 21+8, 20+9, 19+10, 18+11, 17+12, 16+13, 15+14,

....und für jede dieser Summen, das Produkt aus beiden Zahlen:

11: 10, 18, 24, 28, 30,
17: 16, 30, 42, 52, 60, 66, 70, 72,
23: 22, 42, 60, 76, 90, 102, 112, 120, 126, 130, 132,
27: 26, 50, 72, 92, 110, 126, 140, 152, 162, 170, 176, 180, 182,
29: 28, 54, 78, 100, 120, 138, 154, 168, 180, 190, 198, 204, 208, 210,

Jetzt lasse ich einmal alle doppelt vorkommenden Zahlen hinauswerfen:
(Allerdings kann ich momentan nich so viel damit anfangen, da es mehrere negative Antworten gibt)
Bleiben:

11: 10, 18, 24, 28
17: 16, 52
23: 22, 76, 112
27: 26, 50, 110, 152
29: 28, 54, 100, 138, 154, 204, 208

Da wäre wohl m.M. nach am ehesten die Summe 17 und die Produkte 16 x 1 oder 4 x 13 zu brauchen.
Da muß ich aber noch genauer überlegen........

lg
kurth

[black]

Hallo ,

@Kurth: Welche Programmierspache nutzt du?

@Hans-Peter: Kurth hat die maschinelle Lösungssuche mit einen Frühstart begonnen. Hinterher!

Nun zu Kurths Posting:

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Ich habe es allerdings nur bis Zahlen < 50 verwendet.
Hereingeschrieben habe ich dann nur Kombinationen < 30.
Danach gibt es m.M. sowieso zu viele Möglichkeiten.

Viele sicher. Aber zu viele? Sind doch anfangs nur 4851 mögliche Paar.

Ich kenne ja deinen Ansatz nicht, aber da es ja letztlich um Kombinationsmöglichkeiten geht,
glaubt ich nicht , dass man im Vorfeld welche ausschließen sollte.

1) Also Anja weiß, daß Max aus dem Produkt nicht auf die Summe schließen kann.
Daher kann die Summe nicht aus der Summe zweier Primzahlen gebildet sein.

M.E. steht dieser Ansatz vor 2 Problemen:

1)
Wie ich oben bei Hans-Peter schon schrieb, funktioniert eine eindeutige Faktorisierung der Nichtprimzahlen mittels Primzahlzerlegung nicht , da die 1 auch noch mit im Spiel ist.
Wüsste Max Bsp. das Produkt 6, würde er dennoch das Zahlenpaar nicht kennen (6 = 2*3 = 1*6).

2)

Anja weiß, dass Max das Produkt nicht eindeutig faktorisieren kann, u.U. nur , weil Max es ihr mitteilte.
Sie musste das Faktorisierungsproblem nicht ihrer Summe angesehen können.