Unwissenheit schafft Wissen

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Hier mal 'kurz' die Paare, welche jeweils entfallen:

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1:

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( 5,34) ( 2,85) (12,14) ( 8,21) ( 7,24) ( 6,28) ( 4,42) ( 3,56) ( 2,84) ( 7,25) ( 5,35) 
( 6,29) ( 3,58) ( 2,87) (49,92) (46,98) ( 4,43) ( 2,86) (42,50) (35,60) (28,75) (30,70) 
(25,84) ( 9,18) ( 6,27) ( 3,54) ( 2,81) (39,54) (26,81) (27,78) (10,16) ( 8,20) ( 5,32) 
( 4,40) ( 2,80) (11,15) ( 5,33) ( 3,55) (50,90) (60,75) ( 4,41) ( 2,82) (31,68) (34,62) 
( 6,31) ( 3,62) ( 2,93) (51,88) (66,68) ( 8,23) ( 4,46) ( 2,92) (40,52) (32,65) (26,80) 
(10,19) ( 5,38) ( 2,95) ( 4,47) ( 2,94) ( 9,21) ( 7,27) ( 3,63) (38,55) (22,95) (56,80) 
(64,70) (11,16) ( 8,22) ( 4,44) ( 2,88) (36,58) (29,72) (24,87) (13,14) ( 7,26) ( 2,91) 
(12,15) ( 9,20) (10,18) ( 6,30) ( 5,36) ( 4,45) ( 3,60) ( 2,90) (12,17) ( 6,34) ( 4,51) 
( 3,68) (41,52) (26,82) ( 9,23) ( 3,69) (49,94) (47,98) (10,20) ( 8,25) ( 5,40) ( 4,50) 
(38,56) (28,76) ( 7,28) ( 4,49) ( 2,98) (11,18) ( 9,22) ( 6,33) ( 3,66) ( 2,99) (42,51) 
(34,63) (12,16) ( 8,24) ( 6,32) ( 4,48) ( 3,64) ( 2,96) (13,15) ( 5,39) ( 3,65) (31,69) 
(23,93) (11,20) (10,22) ( 5,44) ( 4,55) (54,85) (51,90) ( 6,37) ( 3,74) (12,18) ( 8,27) 
( 9,24) ( 6,36) ( 4,54) ( 3,72) (44,48) (32,66) (33,64) (22,96) (24,88) (13,16) ( 8,26) 
( 4,52) (14,15) (10,21) ( 7,30) ( 6,35) ( 5,42) ( 3,70) (14,17) ( 7,34) (77,84) (66,98) 
(13,18) ( 9,26) ( 6,39) ( 3,78) (46,47) (23,94) ( 8,29) ( 4,58) (45,48) (40,54) (30,72) 
(36,60) (27,80) (24,90) (29,75) (25,87) (11,21) ( 7,33) ( 3,77) (10,23) ( 5,46) (12,19) 
( 6,38) ( 4,57) ( 3,76) (31,70) (35,62) ( 9,25) ( 5,45) ( 3,75) (57,80) (60,76) (48,95) 
(14,16) ( 7,32) ( 8,28) ( 4,56) (43,50) (25,86) (15,17) ( 5,51) ( 3,85) (14,18) (12,21) 
( 9,28) ( 7,36) ( 6,42) ( 4,63) ( 3,84) (66,69) (46,99) (10,25) ( 5,50) (37,58) (29,74) 
(72,90) (80,81) ( 8,31) ( 4,62) (39,55) (33,65) (50,91) (65,70) ( 6,41) ( 3,82) (44,49) 
(28,77) (22,98) ( 7,35) ( 5,49) ( 9,27) ( 3,81) (15,16) (10,24) (12,20) ( 8,30) ( 6,40) 
( 5,48) ( 4,60) ( 3,80) (11,25) ( 5,55) (37,66) (33,74) (13,21) ( 7,39) ( 3,91) (43,96) 
(48,86) (16,17) ( 8,34) ( 4,68) ( 9,31) ( 3,93) (12,23) ( 6,46) ( 4,69) ( 3,92) (47,52) 
(26,94) ( 6,47) ( 3,94) (44,94) (47,88) (14,20) (10,28) ( 8,35) ( 7,40) ( 5,56) ( 4,70) 
(38,64) (32,76) (13,22) (11,26) (15,19) ( 5,57) ( 3,95) (45,92) (46,90) (60,69) (42,58) 
(28,87) (29,84) ( 6,43) ( 3,86) ( 8,32) ( 4,64) (39,63) (27,91) (13,20) (10,26) ( 5,52) 
( 4,65) (41,60) (30,82) ( 9,29) ( 3,87) (14,19) ( 7,38) (49,50) (35,70) (25,98) (12,22) 
(11,24) ( 8,33) ( 6,44) ( 4,66) ( 3,88) (48,51) (34,72) (36,68) (42,99) (63,66) (54,77) 
(15,18) ( 9,30) (10,27) ( 6,45) ( 5,54) ( 3,90) (16,19) ( 8,38) ( 4,76) (45,55) (33,75) 
(25,99) (17,18) ( 9,34) ( 6,51) (75,84) (70,90) (11,28) (14,22) ( 7,44) ( 4,77) (10,31) 
( 5,62) (57,72) (54,76) (12,26) (13,24) ( 8,39) ( 6,52) ( 4,78) (44,56) (32,77) (28,88) 
(15,21) ( 9,35) ( 7,45) ( 5,63) (38,65) (26,95) (16,18) (12,24) ( 9,32) ( 8,36) ( 6,48) 
( 4,72) ( 3,96) (10,29) ( 5,58) (42,98) (49,84) (14,21) ( 7,42) ( 6,49) ( 3,98) (43,58) 
(29,86) ( 8,37) ( 4,74) (40,62) (31,80) (11,27) ( 9,33) ( 3,99) (15,20) (12,25) (10,30) 
( 6,50) ( 5,60) ( 4,75) (46,54) (36,69) (27,92) (31,81) (27,93) (18,19) ( 9,38) ( 6,57) 
(17,20) (10,34) ( 5,68) ( 4,85) (44,57) (33,76) (38,66) (14,24) (16,21) (12,28) ( 8,42) 
( 7,48) ( 6,56) ( 4,84) (13,27) ( 9,39) (14,25) (10,35) ( 7,50) ( 5,70) (12,29) ( 6,58) 
( 4,87) (15,23) ( 5,69) (56,75) (60,70) (50,84) ( 8,43) ( 4,86) (39,64) (48,52) (32,78) 
(26,96) (43,98) (49,86) (52,81) (54,78) (12,27) ( 9,36) ( 6,54) ( 4,81) (13,25) ( 5,65) 
(14,23) ( 7,46) (16,20) (10,32) ( 8,40) ( 5,64) ( 4,80) (42,60) (40,63) (45,56) (36,70) 
(35,72) (28,90) (30,84) (34,74) (37,68) (65,98) (70,91) (15,22) (10,33) (11,30) ( 6,55) 
( 5,66) ( 8,41) ( 4,82) (12,31) ( 6,62) ( 4,93) (15,25) ( 5,75) (17,22) (11,34) (41,62) 
(31,82) (64,65) (52,80) (16,23) ( 8,46) ( 4,92) (10,37) ( 5,74) (47,54) (27,94) (19,20) 
(10,38) ( 5,76) ( 4,95) ( 8,47) ( 4,94) (18,21) (14,27) ( 9,42) ( 7,54) ( 6,63) (44,95) 
(55,76) (17,21) ( 7,51) (58,72) (48,87) (16,22) (11,32) ( 8,44) ( 4,88) (44,58) (29,88) 
(14,26) (13,28) ( 7,52) ( 4,91) (49,52) (28,91) (26,98) (50,51) (34,75) (30,85) (64,99) 
(66,96) (72,88) (18,20) (15,24) (12,30) (10,36) ( 9,40) ( 8,45) ( 6,60) ( 5,72) ( 4,90) 
(10,41) ( 5,82) (17,24) (12,34) ( 8,51) ( 6,68) (36,64) (32,72) (24,96) (18,23) ( 9,46) 
( 6,69) (33,70) (35,66) (42,55) (30,77) (16,25) (10,40) ( 8,50) ( 5,80) (14,29) ( 7,58) 
(15,27) ( 9,45) ( 5,81) (43,54) (27,86) (14,28) ( 8,49) ( 7,56) ( 4,98) (40,58) (29,80) 
(19,21) ( 7,57) (31,75) (25,93) (63,68) (51,84) (18,22) (11,36) (12,33) ( 9,44) ( 6,66) 
( 4,99) (45,95) (57,75) (11,35) ( 7,55) ( 5,77) (16,24) (12,32) ( 8,48) ( 6,64) ( 4,96) 
(46,93) (62,69) (13,30) (15,26) (10,39) ( 6,65) ( 5,78) (77,80) (70,88) (20,22) (11,40) 
(10,44) ( 8,55) ( 5,88) ( 9,49) ( 7,63) (17,26) (13,34) (12,37) ( 6,74) (36,65) (39,60) 
(45,52) (30,78) (26,90) (48,88) (44,96) (64,66) (18,24) (16,27) (12,36) ( 9,48) ( 8,54) 
( 6,72) (14,31) ( 7,62) (34,69) (46,51) (15,29) ( 5,87) (29,81) (27,87) (47,90) (45,94) 
(47,50) (25,94) (17,25) ( 5,85) (42,56) (48,49) (28,84) (24,98) (13,33) (11,39) (38,62) 
(31,76) (10,43) ( 5,86) (16,26) (13,32) ( 8,52) (19,22) (11,38) (15,28) (20,21) (12,35) 
(14,30) (10,42) ( 7,60) ( 6,70) ( 5,84) (17,28) (14,34) ( 7,68) (19,25) ( 5,95) (37,64) 
(32,74) (10,47) ( 5,94) (47,92) (46,94) (18,26) (12,39) (13,36) ( 9,52) ( 6,78) (35,68) 
(34,70) (28,85) (41,58) (29,82) (48,90) (45,96) (60,72) (54,80) (16,29) ( 8,58) (36,66) 
(44,54) (33,72) (27,88) (24,99) (15,31) ( 5,93) (50,87) (58,75) (21,22) (14,33) (11,42) 
( 7,66) ( 6,77) (20,23) (10,46) ( 5,92) (17,27) ( 9,51) (78,80) (65,96) (19,24) (12,38) 
( 8,57) ( 6,76) (13,35) ( 7,65) ( 5,91) (18,25) (15,30) (10,45) ( 9,50) ( 6,75) ( 5,90) 
(38,63) (42,57) (14,32) (16,28) ( 7,64) ( 8,56) (46,52) (26,92) (17,30) (15,34) (10,51) 
( 6,85) (18,28) (21,24) (14,36) (12,42) ( 8,63) ( 9,56) ( 7,72) ( 6,84) (40,60) (48,50) 
(30,80) (32,75) (25,96) (22,23) (11,46) (20,25) (10,50) (77,81) (63,99) (16,31) ( 8,62) 
(43,56) (28,86) (65,66) (55,78) (12,41) ( 6,82) (15,33) (11,45) ( 9,55) ( 5,99) (19,26) 
(13,38) (49,88) (44,98) (56,77) (14,35) (10,49) ( 7,70) ( 5,98) (39,62) (31,78) (26,93) 
(18,27) ( 9,54) ( 6,81) (45,54) (30,81) (27,90) (16,30) (15,32) (20,24) (12,40) (10,48) 
( 8,60) ( 6,80) ( 5,96) (21,23) ( 7,69) (22,25) (11,50) (10,55) (21,26) (13,42) (14,39) 
( 7,78) ( 6,91) (49,56) (28,98) (16,34) (17,32) ( 8,68) (18,31) ( 9,62) ( 6,93) (23,24) 
(12,46) ( 8,69) ( 6,92) (38,72) (48,57) (36,76) (21,27) ( 9,63) ( 7,81) (12,47) ( 6,94) 
(39,70) (42,65) (35,78) (30,91) (17,33) (11,51) (44,62) (31,88) (16,35) (20,28) (14,40) 
(10,56) ( 8,70) ( 7,80) (47,58) (29,94) (14,41) ( 7,82) (22,26) (13,44) (11,52) (19,30) 
(15,38) (10,57) ( 6,95) (56,87) (58,84) (40,68) (32,85) (34,80) (12,43) ( 6,86) (14,37) 
( 7,74) (16,32) ( 8,64) (19,27) ( 9,57) (63,78) (54,91) (21,25) (15,35) ( 7,75) (20,26) 
(13,40) (10,52) ( 8,65) (41,66) (33,82) (18,29) ( 9,58) ( 6,87) (36,75) (50,54) (45,60) 
(30,90) (19,28) (14,38) ( 7,76) (31,87) (29,93) (68,72) (51,96) (22,24) (16,33) (11,48) 
(12,44) ( 8,66) ( 6,88) (20,27) (15,36) (18,30) (12,45) ( 9,60) (10,54) ( 6,90) (49,55) 
(35,77) (42,64) (48,56) (32,84) (28,96) (11,49) ( 7,77) (39,72) (52,54) (36,78) (19,32) 
(16,38) ( 8,76) (21,29) ( 7,87) (66,75) (55,90) (50,99) (37,76) (38,74) (17,36) (18,34) 
(12,51) ( 9,68) (22,28) (14,44) (11,56) ( 8,77) ( 7,88) (40,70) (50,56) (35,80) (20,31) 
(10,62) (51,55) (33,85) (23,27) ( 9,69) (19,33) (11,57) (64,77) (56,88) (24,26) (16,39) 
(13,48) (12,52) ( 8,78) (21,30) (18,35) (14,45) (15,42) ( 9,70) (10,63) ( 7,90) (48,58) 
(32,87) (29,96) (45,62) (30,93) (31,90) (22,29) (11,58) (13,49) ( 7,91) (65,76) (52,95) 
(41,68) (34,82) (18,32) (16,36) (12,48) ( 9,64) ( 8,72) ( 6,96) (20,29) (10,58) (15,39) 
(13,45) ( 9,65) (42,66) (44,63) (33,84) (36,77) (28,99) (21,28) (14,42) (12,49) ( 7,84) 
( 6,98) (40,69) (46,60) (30,92) (16,37) ( 8,74) (17,35) ( 7,85) (18,33) (22,27) (11,54) 
( 9,66) ( 6,99) (23,26) (13,46) (69,72) (54,92) (43,64) (32,86) (20,30) (24,25) (15,40) 
(12,50) (10,60) ( 8,75) (51,54) (34,81) (14,43) ( 7,86) (62,81) (54,93) (14,49) ( 7,98) 
(19,36) (18,38) (12,57) ( 9,76) (22,31) (11,62) (45,58) (29,90) (30,87) (66,76) (57,88) 
(20,34) (17,40) (10,68) ( 8,85) (46,57) (38,69) (25,27) (15,45) ( 9,75) (21,32) (24,28) 
(16,42) (14,48) (12,56) ( 8,84) ( 7,96) (26,27) (18,39) (13,54) ( 9,78) (20,35) (25,28) 
(14,50) (10,70) (65,77) (55,91) (24,29) (12,58) ( 8,87) (48,54) (36,72) (32,81) (27,96) 
(42,62) (31,84) (28,93) (21,33) (11,63) ( 9,77) ( 7,99) (23,30) (15,46) (10,69) (64,78) 
(52,96) (16,43) ( 8,86) (50,52) (40,65) (43,60) (30,86) (24,27) (18,36) (12,54) ( 9,72) 
( 8,81) (46,56) (28,92) (21,31) ( 7,93) (25,26) (13,50) (10,65) (23,28) (14,46) ( 7,92) 
(35,74) (37,70) (17,38) (19,34) (63,80) (70,72) (60,84) (56,90) (20,32) (16,40) (10,64) 
( 8,80) (34,76) (38,68) (45,57) (27,95) (40,64) (32,80) (19,35) ( 7,95) (18,37) ( 9,74) 
(20,33) (22,30) (15,44) (11,60) (12,55) (10,66) (33,78) (39,66) (26,99) (17,39) (13,51) 
(16,41) ( 8,82) (14,47) ( 7,94) (33,81) (27,99) (24,31) (12,62) ( 8,93) (25,30) (15,50) 
(10,75) (22,34) (17,44) (11,68) (18,41) ( 9,82) (23,32) (16,46) ( 8,92) (19,39) (13,57) 
(20,37) (10,74) (19,40) (20,38) (10,76) ( 8,95) (35,76) (38,70) (28,95) (17,45) (15,51) 
( 9,85) (43,62) (31,86) (26,29) (13,58) (16,47) ( 8,94) (36,74) (37,72) (23,33) (11,69) 
(46,58) (29,92) (27,28) (21,36) (18,42) (14,54) (12,63) ( 9,84) (48,55) (40,66) (44,60) 
(30,88) (33,80) (13,55) (11,65) (21,34) (17,42) (14,51) (49,54) (42,63) (27,98) (22,32) 
(16,44) (11,64) ( 8,88) (51,52) (39,68) (34,78) (56,91) (52,98) (41,64) (32,82) (26,28) 
(13,56) (14,52) ( 8,91) (68,75) (60,85) (21,35) (15,49) (24,30) (18,40) (20,36) (15,48) 
(16,45) (12,60) (10,72) ( 9,80) ( 8,90) (47,56) (28,94) (22,33) (11,66) (20,41) (10,82) 
(64,72) (48,96) (24,34) (17,48) (16,51) (12,68) (21,39) (13,63) ( 9,91) (60,77) (66,70) 
(55,84) (23,36) (18,46) (12,69) ( 9,92) (25,33) (15,55) (11,75) (48,62) (31,96) (32,93) 
(26,31) (13,62) (25,32) (20,40) (16,50) (10,80) (50,60) (40,75) (39,77) (33,91) (28,29) 
(14,58) (22,37) (11,74) (44,68) (34,88) (27,30) (18,45) (15,54) (10,81) ( 9,90) (51,58) 
(34,87) (72,95) (76,90) (36,82) (41,72) (14,56) (16,49) ( 8,98) (21,38) (19,42) (14,57) 
(62,75) (50,93) (22,36) (24,33) (18,44) (12,66) (11,72) ( 9,88) ( 8,99) (46,64) (32,92) 
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(16,48) (12,64) ( 8,96) (23,34) (17,46) (27,29) ( 9,87) (52,57) (38,78) (39,76) (20,39) 
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(10,85) (56,84) (49,96) (48,98) (19,45) (15,57) ( 9,95) (43,70) (35,86) (26,33) (22,39) 
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(18,47) ( 9,94) (46,62) (31,92) (29,33) (11,87) (28,34) (17,56) (14,68) (50,57) (38,75) 
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(24,41) (12,82) (37,78) (39,74) (30,33) (22,45) (18,55) (15,66) (11,90) (10,99) (19,52) 
(26,38) (13,76) (57,85) (51,95) (62,78) (52,93) (28,35) (20,49) (14,70) (10,98) (42,69) 
(46,63) (19,51) (17,57) (22,44) (11,88) (25,39) (15,65) (13,75) (60,81) (54,90) (27,36) 
(18,54) (12,81) (63,77) (49,99) (26,37) (13,74) (44,66) (33,88) (30,32) (20,48) (24,40) 
(16,60) (15,64) (12,80) (10,96) (23,42) (21,46) (14,69) (25,44) (22,50) (20,55) (29,38) 
(19,58) (40,82) (41,80) (26,42) (28,39) (21,52) (14,78) (12,91) (13,84) (32,34) (16,68) 
(17,64) (47,70) (35,94) (43,76) (38,86) (31,36) (18,62) (12,93) (26,43) (13,86) (48,68) 
(51,64) (34,96) (52,63) (36,91) (39,84) (42,78) (30,37) (15,74) (17,65) (13,85) (57,96) 
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(15,76) (12,95) (57,58) (38,87) (68,80) (64,85) (24,43) (12,86) (22,47) (11,94) (23,45) 
(15,69) (46,70) (35,92) (28,37) (14,74) (27,38) (19,54) (18,57) (38,85) (34,95) (50,64) 
(40,80) (21,50) (30,35) (25,42) (15,70) (14,75) (27,39) (13,81) (31,34) (17,62) (26,40) 
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(40,81) (22,49) (14,77) (11,98) (26,47) (13,94) (32,38) (19,64) (16,76) (51,62) (34,93) 
(29,42) (21,58) (14,87) (30,41) (15,82) (34,36) (24,51) (18,68) (17,72) (42,75) (45,70) 
(50,63) (35,90) (22,56) (28,44) (16,77) (14,88) (19,65) (13,95) (49,64) (32,98) (31,40) 
(20,62) (23,54) (27,46) (18,69) (41,78) (39,82) (33,38) (22,57) (19,66) (47,68) (34,94) 
(42,76) (56,57) (38,84) (32,39) (24,52) (26,48) (16,78) (13,96) (35,36) (30,42) (28,45) 
(21,60) (20,63) (18,70) (15,84) (14,90) (34,37) (17,74) (49,65) (35,91) (43,74) (37,86) 
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(16,72) (12,96) (33,35) (21,55) (15,77) (47,66) (33,94) (29,40) (20,58) (55,56) (40,77) 
(44,70) (35,88) (30,39) (26,45) (18,65) (15,78) (13,90) (23,51) (17,69) (56,99) (72,77) 
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(17,70) (14,85) (54,58) (36,87) (33,36) (27,44) (22,54) (18,66) (12,99) (39,80) (40,78) 
(48,65) (52,60) (21,57) (19,63) (26,46) (23,52) (13,92) (30,40) (25,48) (24,50) (20,60) 
(15,80) (16,75) (41,76) (38,82) (28,43) (14,86) (31,39) (13,93) (27,45) (15,81) (42,74) 
(37,84) (41,86) (43,82) (28,49) (14,98) (55,64) (44,80) (40,88) (36,38) (24,57) (18,76) 
(19,72) (57,62) (38,93) (35,39) (21,65) (15,91) (60,87) (58,90) (31,44) (22,62) (56,63) 
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(26,54) (18,78) (37,38) (19,74) (48,74) (37,96) (28,50) (35,40) (25,56) (20,70) (44,81) 
(54,66) (36,99) (64,81) (54,96) (29,48) (24,58) (16,87) (31,45) (15,93) (34,41) (17,82) 
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(48,72) (36,96) (23,57) (19,69) (55,63) (45,77) (35,99) (24,54) (27,48) (18,72) (16,81) 
(31,42) (21,62) (14,93) (26,50) (25,52) (20,65) (30,43) (15,86) (23,56) (28,46) (14,92) 
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(23,58) (24,55) (33,40) (30,44) (20,66) (22,60) (15,88) (27,49) (21,63) (66,78) (52,99) 
(54,65) (45,78) (39,90) (26,51) (34,39) (17,78) (32,41) (16,82) (28,47) (14,94) (46,74) 
(37,92) (54,99) (66,81) (54,63) (42,81) (50,68) (40,85) (31,48) (24,62) (16,93) (25,60) 
(30,50) (20,75) (34,44) (22,68) (17,88) (29,51) (17,87) (57,60) (45,76) (38,90) (36,95) 
(36,41) (18,82) (32,46) (23,64) (16,92) (33,45) (27,55) (15,99) (38,39) (26,57) (19,78) 
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(32,45) (30,48) (24,60) (20,72) (18,80) (15,96) (16,90) (23,63) (21,69) (29,50) (25,58) 
(33,44) (22,66) (40,41) (20,82) (51,75) (45,85) (58,66) (44,87) (38,43) (19,86) (32,51) 
(34,48) (24,68) (17,96) (39,42) (26,63) (21,78) (18,91) (36,46) (24,69) (23,72) (18,92) 
(30,55) (33,50) (25,66) (22,75) (64,93) (62,96) (49,78) (39,98) (42,91) (29,57) (19,87) 
(35,46) (23,70) (31,52) (26,62) (19,85) (17,95) (50,76) (40,95) (32,50) (25,64) (20,80) 
(77,78) (66,91) (29,56) (28,58) (54,70) (60,63) (45,84) (42,90) (37,44) (22,74) (33,49) 
(21,77) (43,88) (44,86) (30,54) (27,60) (36,45) (20,81) (18,90) (31,51) (17,93) (57,66) 
(38,99) (47,80) (40,94) (35,45) (25,63) (21,75) (46,82) (41,92) (28,56) (32,49) (16,98) 
(34,47) (17,94) (28,57) (38,42) (19,84) (21,76) (48,78) (52,72) (39,96) (33,48) (36,44) 
(22,72) (24,66) (18,88) (16,99) (36,43) (18,86) (25,62) (31,50) (66,90) (60,99) (55,68) 
(44,85) (35,44) (28,55) (22,70) (20,77) (32,48) (24,64) (16,96) (27,57) (19,81) (34,46) 
(23,68) (17,92) (27,58) (29,54) (18,87) (39,40) (26,60) (30,52) (24,65) (20,78) (49,76) 
(38,98) (46,81) (54,69) (38,41) (19,82) (60,62) (40,93) (37,42) (21,74) (57,65) (39,95) 
(40,44) (32,55) (22,80) (20,88) (31,57) (19,93) (36,49) (28,63) (21,84) (18,98) (48,77) 
(56,66) (44,84) (42,88) (34,52) (26,68) (45,82) (41,90) (76,80) (64,95) (37,48) (24,74) 
(33,54) (27,66) (22,81) (18,99) (38,47) (19,94) (46,80) (40,92) (35,51) (21,85) (51,72) 
(54,68) (36,48) (32,54) (27,64) (24,72) (18,96) (31,56) (28,62) (66,93) (62,99) (47,78) 
(39,94) (29,60) (30,58) (20,87) (38,46) (23,76) (19,92) (35,50) (25,70) (72,85) (68,90) 
(48,76) (57,64) (38,96) (39,45) (27,65) (58,63) (42,87) (37,46) (23,74) (27,63) (21,81) 
(34,50) (25,68) (20,85) (52,70) (56,65) (40,91) (30,57) (38,45) (19,90) (18,95) (33,52) 
(39,44) (26,66) (22,78) (49,74) (37,98) (25,69) (23,75) (41,42) (21,82) (40,43) (20,86) 
(43,84) (42,86) (44,82) (41,88) (32,52) (26,64) (34,49) (17,98) (69,88) (66,92) (45,80) 
(48,75) (50,72) (40,90) (38,44) (22,76) (19,88) (31,54) (27,62) (18,93) (72,84) (63,96) 
(30,56) (35,48) (40,42) (24,70) (28,60) (21,80) (20,84) (33,51) (17,99) (46,78) (52,69) 
(39,92) (36,47) (18,94) (29,66) (33,58) (22,87) (34,56) (28,68) (60,95) (75,76) (39,49) 
(21,91) (60,68) (51,80) (48,85) (38,50) (25,76) (20,95) (42,45) (30,63) (35,54) (27,70) 
(21,90) (44,93) (62,66) (43,44) (22,86) (45,91) (63,65) (33,57) (19,99) (63,64) (42,96) 
(56,72) (48,84) (40,47) (20,94) (66,87) (58,99) (41,46) (23,82) (43,94) (47,86) (39,48) 
(36,52) (24,78) (26,72) (54,75) (50,81) (45,90) (44,92) (46,88) (34,55) (22,85) (29,64) 
(32,58) (38,49) (19,98) (27,69) (23,81) (30,62) (31,60) (20,93) (52,77) (44,91) (42,44) 
(28,66) (33,56) (24,77) (21,88) (22,84) (58,69) (46,87) (37,50) (25,74) (40,46) (23,80) 
(20,92) (36,51) (27,68) (34,54) (41,98) (49,82) (38,48) (32,57) (24,76) (19,96) (29,63) 
(21,87) (35,52) (28,65) (26,70) (20,91) (63,90) (70,81) (57,70) (42,95) (42,43) (21,86) 
(41,44) (22,82) (40,45) (36,50) (30,60) (24,75) (25,72) (20,90) (31,58) (29,62) (39,46) 
(26,69) (23,78) (28,64) (32,56) (42,94) (47,84) (41,96) (48,82) (34,60) (40,51) (30,68) 
(24,85) (33,62) (31,66) (22,93) (55,72) (60,66) (40,99) (45,88) (44,90) (36,56) (32,63) 
(42,48) (28,72) (24,84) (21,96) (27,75) (25,81) (44,46) (23,88) (22,92) (75,78) (65,90) 
(46,86) (43,92) (39,52) (26,78) (35,58) (29,70) (26,77) (22,91) (40,50) (25,80) (29,69) 
(23,87) (62,63) (42,93) (31,64) (32,62) (35,57) (21,95) (70,84) (60,98) (56,70) (40,98) 
(49,80) (37,54) (27,74) (34,58) (29,68) (42,47) (21,94) (72,80) (64,90) (60,96) (41,48) 
(24,82) (51,76) (57,68) (33,60) (44,45) (36,55) (30,66) (20,99) (22,90) (38,52) (26,76) 
(43,46) (23,86) (52,75) (60,65) (50,78) (31,63) (21,93) (54,72) (48,81) (40,49) (35,56) 
(28,70) (20,98) (47,82) (41,94) (69,84) (63,92) (50,77) (55,70) (38,51) (34,57) (30,65) 
(39,50) (25,78) (26,75) (60,64) (40,96) (48,80) (36,54) (27,72) (24,81) (45,86) (43,90) 
(35,55) (25,77) (37,52) (26,74) (56,69) (46,84) (42,92) (32,60) (30,64) (40,48) (24,80) 
(20,96) (42,46) (28,69) (23,84) (21,92) 

class DontKnow$Sum,false: t: 1, res: 1, rm: 0
res= 77, 90

Damit dürfte alles klar sein.

[Schmetterlingchen]

[_Alter_]

Mich würde die Programmierung interressieren, also den Programmtext und nicht das Ergebnis.
könnteste das mal bitte zeigen und noch kurz erwähnen welche Sprache.

[black]

Hallo _Alter_,

Mich würde die Programmierung interressieren, also den Programmtext ...

Das Programm ist in Java (Version >= 1.6) geschrieben.
Es berechnet in jedem Schritt für alle übrig gebliebenen Paare die Summe bzw. das Produkt und streicht die Paare, bei denen das Ergebnis (nicht) einmalig ist.
(Es wäre effizienter, die Hashmap(s) zwischen zu speichern und nur anzupassen. Aber es ist schnell genug.)

Quelltext:

Mehr ->

import java.util.HashSet;
import java.util.HashMap;

public class DontKnow {

  
  static class Pair {
  
    int a,b;

    public Pair(int a, int b) {
      this.a = a;
      this.b = b;
    }
    
  }

  
  static abstract class Fct {
    
    String name;
    
    public Fct(String name) {
      this.name = name;
    }

    public abstract int calc(Pair p);
    
  }
  
  
  HashSet<Pair> hsPosPairs;
  
  
  public DontKnow(int min, int max) {
  
    hsPosPairs = new HashSet<Pair>();
    
    for (int j=min+1;j<=max;j++)
      for (int i=min;i<j;i++)
        hsPosPairs.add(new Pair(i,j));
  
  }

  
  public void step(Fct f, boolean dontKnow) {
    
    HashMap<Integer,HashSet<Pair>> hm = new HashMap<Integer,HashSet<Pair>>();
    
    for (Pair p:hsPosPairs) {
      
      int r = f.calc(p);
      
      HashSet<Pair> hs = hm.get(r);
      
      if (hs==null) {
        hs = new HashSet<Pair>();
        hm.put(r, hs);
      }
  
      hs.add(p);
    }

    HashSet<Pair> hsRes = new HashSet<Pair>();
    HashSet<Pair> hsRm= new HashSet<Pair>();
    
    for (int key:hm.keySet()) {
      HashSet<Pair> hs = hm.get(key);
      if((dontKnow && hs.size()>1)  ||  (!dontKnow && hs.size()==1))
        hsRes.addAll(hs);
      else 
        hsRm.addAll(hs);
    }
    
    System.out.printf("%s: %d ==> %d, entfallene Paare (%d):\n", f.name, hsPosPairs.size(), hsRes.size(),
                                           hsPosPairs.size()-hsRes.size());
    
    int c = 0;
    for (Pair p:hsRm) {
      if (c++ % 10 == 0) System.out.println();
      System.out.printf("(%2d,%2d) ",p.a,p.b);
    }
    System.out.println("\n\n");
    
    hsPosPairs = hsRes;
    
  }
        
  
  public static void main(String[] args) {
  
    Fct sum = new Fct("Anja") {
              public int calc(Pair p) {
                return p.a+p.b;
              }
            };

    Fct prod = new Fct("Max") {
              public int calc(Pair p) {
                return p.a*p.b;
              }
            };

    DontKnow dk = new DontKnow(1,99);
    
    for (int i=0;i<8;i++) {
      System.out.printf("%d. ",i+1);
      dk.step((i%2==0) ? prod : sum, i<6);
    }
    
    System.out.printf("\nmoegliche Paare (%d):\n",dk.hsPosPairs.size());
    for (Pair p:dk.hsPosPairs)
      System.out.printf("    %d %d\n", p.a,p.b);
  }
  
}

Gruß

black

[_Alter_]

Dad kligt ja dann logisch

[Otmar]

Kein Beweis erforderlich. Falls jemandem aber ein kurzer einfällt: Immer her damit!

Nun ein Beweis wird es nicht, aber ein Versuch die Lösung ohne Computer zu machen oder zumindest einige Gedanken dazu. Eventuell könnten die auch helfen, den bereits angegebenen Lösungsweg zu diesem wunderschönen Rätsel noch etwas verständlicher zu machen.
Ist leider nicht ganz so kurz geworden.

Mehr ->

Da aus s=a+b und p=a*b das Zahlenpaar a und b als die beiden Lösungen der Gleichung x^2 – x*s + p = 0 eindeutig bestimmt ist, genügt es für Max s zu ermitteln oder für Anja p zu ermitteln, woraus sich für beide das Paar (a, b) ergibt.
Im Folgenden stelle ich mir ein Rechteck vor, anfangs mit knapp 200 Zeilen für alle möglichen Summen s und sehr vielen Spalten für alle möglichen Produkte p. Für jedes möglich Zahlenpaar a, b wird ein x in den durch a+b und a*p definierten Kreuzungspunkt des Rechtecks gesetzt. Dabei bleiben die meisten Kreuzungspunkte leer. Immer dann, wenn Max die Unkenntnis des Zahlenpaars äußert, werden in dem Rechteck alle Spalten gestrichen in denen nur ein einziges x steht. Analog werden bei geäußerter Unkenntnis von Anja alle Zeilen gestrichen in denen zur Zeit der Äußerung nur ein einziges x steht, denn wenn nur ein x in einer Spalte(Zeile) steht, dann würde Max (Anja) ja die fehlende Summe (Produkt) über diesen Kreuzungspunkt herausbekommen und somit auch a und b kennen. Da sie aber Unkenntnis geäußert haben, fallen diese Spalten (Zeilen) auf jeden Fall weg. (Bei der eigentlichen Ausführung des Dialogs könnten, und das macht die Sache etwas unübersichtlich, noch mehr Zeilen und Spalten wegfallen, aber nur dann wenn diese völlig separiert zu den wirklich interessanten Kreuzungspunkten sind. Dieses Wegfallen würde aber die Lösung nicht beeinflussen. Der Vollständigkeit halber sei dieser Fall aber erwähnt und ein Beispiel dafür angegeben:

xx-------
-xx------
--xx-----
----xxxxx
----xxxxx
----xxxxx
----xxxxx
 

Wenn Anja eine Summe für die ersten 3 Zeilen hätte, dann hätte Max ein Produkt aus den ersten 4 Spalten. Wenn Max dran ist, fällt nicht nur die erste Spalte weg sondern es fallen auch die letzten 5 Spalten weg, da beiden ja klar ist, dass ihr Paar nicht aus dem Teilgebiet rechts unten kommen kann.

Wichtig ist, dass keine Reihen wegfallen, von denen z.B. Max denken könnte, dass Anja denkt, dass Max das Produkt für die betreffende Spalte haben könnte. Das gilt auch für beliebig tiefere Rekursionen. Damit bleiben bei geäußerter Unkenntnis des Zahlenpaares wirklich nur die Reihen zum Streichen übrig, bei denen ein einziges Kreuz steht. Und zwar werden die Reihen für beide, Anja und Max gestrichen so dass bei der folgenden Äußerung ein kleineres Rechteck als Basis für die Kenntnis der Zahlenpaares herangezogen wird.

Wer’s mal ausprobieren möchte, das Rätsel funktioniert auch mit Zahlen a, b aus {1, 2, …, 13}. Insbesondere, wenn man das Rechteck nach dem ersten „nein“ von Max hinschreibt, ist alles sehr übersichtlich.

Leider hat Black alle positiven ganzen Zahlen unter 100 erlaubt. Da sind einige prinzipielle Vorüberlegungen sinnvoll, sonst reicht das Papier nicht.

Zuerst zu Zeilen für kleine Summen:

Ohne das hier ganz detailliert zu beschreiben, kann man relativ einfach sehen, dass die Summe für Anjas Zeile größer als 99 sein muss. Denn Zeilen mit einer Summe kleiner als 7 fallen gleich am Anfang weg. Die Zeilen für die Summen s = 7..36 haben zwei Produkte 2*(s-2) und 3*(s-3) mit je einem Produkt 1*(r-1) aus Zeilen für Summe r mit s < r <= 99 gemeinsam. Weiterhin haben Zeilen für s = 37..99 ein noch nicht benutztes Produkt l*(s-l) mit l aus {2,3} und s-l = 2k mit einem Produkt aus einer Zeile für die Summe r mit 18 < r < s gemeinsam. Deshalb können die Zeilen für s=7..99 nie gestrichen werden.

Zeilen für großen Summen:

Also müssen wir s >= 100 suchen. Für die „manuelle“ Suche ist es hilfreich anzunehmen, dass die Zeilen für sehr großen Summen wenige Kreuzungspunkte haben und deshalb Kandidaten für ein mögliches Streichen von Reihen enthalten. Deshalb ist es erfolgversprechend, sich "von oben" zu nähern.

Für das Folgende sei angenommen, dass oben die Zeilen für die großen Summen stehen. Z.B:

197 -x-------
196 --x------
195 -----x---
.
.
.
 

Jetzt wird gezeigt, dass ein gemeinsames Produkt in zwei Zeilen für die Summen s und s-k (k > 0) erst ab einer minimalen Summe s gefunden werden kann:

Es sei a = (s-x)/2 und b = (s+x)/2 mit x und s entweder beide gerade oder beide ungerade sind und x > 0 ist.
Dann ist ab = (s^2-x^2)/4 und x = 2b-s und b <= 99
So erhält man 99(s-99) <= ab <= (s^2-1)/4

Betrachten wir jetzt die Zeile für die Summen s und s-k und fragen bei welchen reellen Wert für s das untere Limit für das Produkt ab aus der Zeile für s mit dem oberen Limit für ab aus der Zeile für s-k übereinstimmt, dann erhält man:
99(s-99) = ((s-k)-1)/4 und
s = 2*99 + k – Sqrt(1 + 4*99 k)

D.h. eine Zeile kann mit der nächst tieferen nur dann gemeinsame Produkte haben, wenn s <= 179 ist. Für gemeinsame Produkte mit der übernächsten Zeile muss s <= 171 sein, und für k = 3 muss s <= 166 sein. Für noch tiefere Zeilen gibt es gar keine gemeinsamen Produkte. (z.B. Zeile 167 kann mit Zeile s für z < 167-3 niemals ein gemeinsames Produkt haben.)

Nun könnten wir alle Produkte ausrechnen und die oberen Zeilen aufschreiben. Das ist aber immer noch viel Arbeit und kann einfacher gemacht werden, denn man kann die gemeinsamen Produkte in verschiedenen Zeilen recht schön finden, wenn man s und s-k vorgibt.

Wenn wir y für die Berechnung des Zahlenpaares in der Zeile für s-k analog zu x in der Zeile s verwenden, ergibt sich:

4ab = s^2 – x^2 = (s-k)^2 – y^2

oder
(x-y)(x+y) = k(2s-k) = ij wobei i * j eine mögliche Faktorisierung von k(2s-k) ist und x-y=i und x+y=j gesetzt wird. Dann ist x = (i+j)/2 und y = (j – i)/2, also j > i wegen y > 0. Wegen b = (s+x)/2 und b <=99 muss i+j <= 2(2*99 –s) sein. Für i und j sind dann alle passenden Faktorisierungen zu testen.

Verwendet man diese Kriterien, dann kann man relativ einfach ein entscheidendes Segment aus der Rechteck für die Entscheidung des Spiels bestimmen. Dazu muss man nur noch die entsprechenden Faktorisierungen ermitteln:

s	2(2*99-s)		2s-1		2(2s-2)
177	42		353
175	46		349
174	48		347
172	52		7^3	
171	54		11*31		2^3*5*17
170	56		3*113		2^2*13^2
169	58		337		2^5*3*7
168	60		5*67		2^2*167
167	62		3^2*37		2^3*83

Da für s > 171 niemals 3 Zeilen über Produktspalten verbunden sind, fallen alle Zeilen für s > 171 beim Dialog von Anja und Max weg. Die Faktorisierungen für die Zeilen s > 171 wo es nach unten nicht weitergeht, sind angegeben. Das Kriterium i+j <= 2(2*99-s) wird dort nicht erfüllt.

Für Zeilen mit s <= 171 erhält man, wenn man gemeinsame Produkte aus der Primfaktorzerlegungen und den angegebenen Bedingungen ableitet:

	
171 xx--
170 x---
169 –xx-
168 ----
167 –-xx hier geht’s weiter, da wird es dichter
166 ---x 

Die Produkte selbst müssen wir garnicht ausrechnen. Aus der Grafik ist ersichtlich welche Reihen wann entfernt werden:

Max sagt nein: Spalten die hier nicht ersichtlich sind werden entfernt, insbesondere in den Zeilen 171..167
Anja sagt nein: Zeile 170
Max sagt nein: erste Spalte
Anja sagt nein: Zeile 171
Max sagt nein: zweite Spalte
Anja sagt nein: Zeile 169
Max sagt ja, weil Black das so wollte. D.h. das in Zeile 167 dritte Spalte stehende Kreuz, steht in der Spalte die für sein Produkt eingezeichnet ist. Jetzt müssen wir an dieser Stelle nur noch a und b ausrechnen:

Es kommt aus der Verbindung Zeile s = 169 und s-k = 167, also k = 2. Die Primfaktorzerlegung von k(2s-k) = 2^5*3*7

Es müssen i und j gerade sein, weil sonst i+j ungerade ist und damit nicht durch 2 teilbar. Weiterhin muss (i+j)/2 ungerade sein, da s=169 auch ungerade ist. Dann muss i+j <= 2(2*99-s), weil sonst b > 99 wird.

Das geht nur mit i = 16 und j = 42.

Dann ist y = (j-i)/2 = 13 und in der Zeile für s-k = 167 ist a = (167-13)/2 = 77 und b = (167+13)/2 = 90.

Falls Black nur eine Lösung vorgesehen hat (und das hat er ja, wie wir schon wissen), dann ist es diese.

Gruß Otmar

[black]

Ist leider nicht ganz so kurz geworden.

Das ging mir beim Versuch, dein Plantenrätsel zu lösen ja leider nicht anders.
Man kann zwar sagen, solange das Ergebnis stimmt ist alles in Butter, aber solch lange Texte nachzuvollziehen und Fehler auszuschließen ist doch schwierig, zumindest zeitaufwändig.

Da lasste ich die Fleißarbeit bei einer endlichen Kandidatenmenge lieber den PC erledigen.


Für kleine Bereiche ist die Idee mit der Kreuztabelle sehr gut um beim manuellen Lösen die Übersicht zu behalten.

Für die 'Effizienzüberlegungen' muss ich mir erst mal etwas Zeit nehmen.