SpielständeMan kann das Spiel in Spielstände (=Zustände) einteilen, wobei in jedem Spielstand noch p Paare auf dem Tisch sind und davon b Karten bekannt sind, weil sie vorher schon umgelegt wurden. Dabei sollen die bekannten Karten alle voneinander verschieden sein. Bei 4 Paaren ist b offenbar geradzahlig. Bei weniger als 4 Paaren (p<4), kann b alle Werte von 0 bis p annehmen. Es sei n=2p-b die Zahl der noch unbekannten Karten.
Übergänge zu neuen ZuständenWenn ein Spieler in so einem Zustand am Zug ist gibt es 4 Möglichkeiten. Er wird in allen Möglichkeiten zuerst eine unbekannte Karte drehen.
Möglichkeit A: Er deckt aus den unbekannten Karten eine bekannte Karte auf und kassiert beide Karten ein. Es verbleibt ein Zustand mit p-1 Paaren und b-1 bekannten Karten. Er bleibt am Zug. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist P(A)=b/n, weil in den n Karten ja die gleichartigen Karten der b bekannten enthalten sind.
In den anderen 3 Möglichkeiten deckt er erst eine unbekannte Karte mit der Wahrscheinlichkeit P(R)=1-P(A)=(n-b)/n auf. Die zweite Karte wird aus den verbleibenden n-1 unbekannten Karten aufgedeckt.
Möglichkeit B: Die zweite Karte wird passt zur ersten aufgedeckten. P(B)=P(R)*1/(n-1). Er kassiert die Karten ein und bleibt am Zug im Spielstand mit p-1 Paaren und b bekannten Karten.
Möglichkeit C: Die zweite Karte passt zu einer bereits bekannten. P(C)=P(R)*b/(n-1). Der Gegenspieler kommt dran und nimmt das bekannte Pärchen. Danach ist der Gegenspieler im Zustand mit p-1 Paaren und anderen aber weiterhin b unbekannten Karten.
Möglichkeit D: Auch die zweite Karte passt zu keiner bereits bekannte Karte. P(D)=P(R)*(n-b-2)/(n-1). Der Gegenspieler kommt dran und ist im Zustand mit weiterhin p Paaren und b+2 bekannten Karten.
Das Spiel bewegt sich also aus seinem Zustand entweder bei gleichbleibenden p zu höherem b (Möglichkeit D) oder zu Zuständen mit p-1 Paaren. So kann man sich zu einfachen Zuständen vorarbeiten.
Wahrscheinlichkeiten für die Anzahl gefundener PaareFür so einen Zustand mit p Paaren und b bekannten Karten seien S(0), S(1),..., S(p) die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl der vom Spieler am Zug ab diesem Zustand gefundenen Paare, S(0) für keine Paare bis S(p) für alle verbliebenen Paare. Für Zustände mit nur zwei Paaren oder Zustände mit b=p kann man S(i) sofort angeben.
Für andere Zustände kann man S(i) aus einfacheren Zuständen rekursiv ermitteln:
Bezeichnet man mit Q(i)=S(p-i) die Wahrscheinlichkeiten für die Anzahl der Karten, die der Gegenspieler im Zustand mit p Paaren und b bekannten Karten erlangt, dann erhält man rekursiv:
S(i) = P(A)*S'(i-1)+P(B)*S''(i-1)+P(C)Q''(i)+P(D)Q'''(i)
Dabei ist S' aus dem Zustand mit p-1 Paaren und b-1 bekannten Karten,
S'' und Q'' aus dem Zustand mit p-1 Paaren und b bekannten Karten und
Q''' aus dem Zustand mit p Paaren und b+2 bekannten Karten.
Hier beachte man, dass nach dem Spielerwechsel nach Möglichkeit C bzw. D der Gegenspieler wieder der Spieler ist, der beim aktuellem Zustand gerade am Zug ist.
Falls eine der Möglichkeiten A, B, C oder D nicht geht, setzt man den P(A), P(B), P(C) oder P(D) einfach 0. Ebenso falls S(i) oder Q(i) nicht definiert ist, z.B. S(-1), dann wird einfach S(i)=0 angenommen. Grafisch kann man sich das noch etwas schöner klarmachen.
E(i)=630*S(i) sei der Erwartungswert bei dem ein Spieler bei 630 mal Spielen vom Zustand mit p Paaren und b bekannten Karten i Pärchen erreicht. Folgende Tabelle zeigt 10 Zustände mit a bis j bezeichnet. Für die einfachen Zustände c, g, h, i, und j sind die Erwartungswerte E(i) bereits eingetragen. n, n-b und (n-b)/(n-1) sind Hilfsgrößen zum Berechnen der Übergangswahrscheinlichkeiten P(A), P(B), P(C) und P(D). Zu den Übergangswahrscheinlichkeiten ist mit einem Pfeil angegeben, welcher Zustand bei der entsprechenden Möglichkeit A, B, C bzw. D erreicht wird.
AusrechnenZustand p b n E(0) E(1) E(2) E(3) E(4) n-b (n-b)/(n-1) P(A) P(B) P(C) P(D)
a 4 0 8 8 1/7 1/7 ->d 6/7 ->b
b 4 2 6 4 2/15 1/3 ->e 2/15->f 4/15->f 4/15->c
c 4 4 0 0 0 0 630
d 3 0 6 6 1/5 1/5 ->h 4/5 ->f
e 3 1 5 4 1/5 1/5 ->h 1/5 ->i 1/5 ->i 2/5 ->g
f 3 2 4 2 1/6 1/2 ->i 1/6 ->j 1/3 ->j
g 3 3 0 0 0 630 -
h 2 0 420 0 210 - -
i 2 1 210 0 420 - -
j 2 2 0 0 630 - -
Nun sind noch die Erwartungswerte für die Zustände f, e, d, b und a in dieser Reihenfolge auszurechnen. Dann ist man am Ziel:
Zustand p b n E(0) E(1) E(2) E(3) E(4)
a 4 0 8 72 96 84 132 246
b 4 2 6 252 140 84 70 84
c 4 4 0 0 0 0 630
d 3 0 6 252 84 84 210 -
e 3 1 5 336 126 42 126 -
f 3 2 4 215 105 0 315 -
g 3 3 0 0 0 630 -
h 2 0 420 0 210 - -
i 2 1 210 0 420 - -
j 2 2 0 0 630 - -
LösungMeine Tochter hätte, wenn die Spiele erwartungsgemäß verteilt gewesen wären, in 132+246=378 Spielen gewinnen können. Sie hat also Pech gehabt.