Leserattenzucht Rätsel ist gelöst

Rätsel, die zum Lösen einen größeren Zeitaufwand erfordern, wie z. B. schwierige Physik- und Matherätsel.

Leserattenzucht

Beitragvon Otmar » Dienstag 12. November 2013, 12:20

Johann und Friedrich züchten in ihrer Freizeit Leseratten. Dazu hatte Johann im vergangen Jahr ein Rechteck eingezäunt und mit Blättern seiner Bücher ausgelegt. Das Seitenverhältnis des Rechtecks war so beschaffen, dass eine mittige Teilung der Fläche zwei Rechtecke mit dem gleichen Seitenverhältnis wie das Ausgangsrechteck erzeugte. Das Rechteck hatte eine Fläche von 1000 m² und bot Platz für genau 1000 Leseratten. Friedrich hatte im vorigen Jahr an anderer Stelle ein kleineres 700 m² großes Rechteck mit dem gleichen Seitenverhältnis eingezäunt und mit Blättern seiner Bücher ausgelegt. Dort fanden genau 700 Leseratten Platz. In diesem Jahr hatte Johann seinen Zaun vom Vorjahr so aufgestellt, dass eine maximale Fläche eingezäunt war. Friedrich durfte in diesem Jahr an Johanns Fläche angrenzen und dabei einen Teil des von Johann aufgestellten Zaunes nutzen. Auch Friedrich hat seinem Zaun vom Vorjahr wiederbenutzt und damit die maximal mögliche Fläche eingezäunt. Beide Flächen sind vollständig mit bedruckten Blättern ausgelegt worden. Wie viele Leseratten hat Johann und wie viele Leseratten hat Friedrich in diesem Jahr gezüchtet, wenn einer Leseratte eine Lesefläche von mindestens einem Quadratmeter zusteht und in beiden umzäunten Flächen die maximale Zahl von Leseratten wohnen?

Hinweis: Bei diesem Rätsel gibt es keine exakten Lösungen für Zwischenergebnisse. Allerdings kann man mit einem Taschenrechner, der einen Speicher hat und Winkelfunktionen berechnen kann, alle Zwischenwerte mit ausreichender Genauigkeit recht flott ausrechnen. Etwas komfortabler geht es mit http://www.wolframalpha.com/. Dort werden Kommazahlen mit Dezimalpunkt geschrieben und für Wurzel aus ... schreibt man sqrt(...). Die Kreiszahl kann als Pi oder pi eingegeben werden. Alle Winkelfunktionen arbeiten im Bogenmaß. Ich habe verschiedene andere Gleichungslöser im Netz probiert, kann aber keinen davon empfehlen.

:les:
Spoilersperre ist festgelegt - Spoiler sind geöffnet
Start: Dienstag 12. November 2013, 12:20
Ende: Freitag 15. November 2013, 12:20
Aktuell: Freitag 29. März 2024, 06:03
Zuletzt geändert von Otmar am Mittwoch 13. November 2013, 00:00, insgesamt 2-mal geändert.
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Re: Leserattenzucht

Beitragvon Neuling » Dienstag 12. November 2013, 14:48

1. Ansatz
Mehr ->
Ich weiß, dass ein DIN A0 Blatt eine Fläche von 1m² besitzt und das Seitenverhältnis beim Teilen (analog verdoppeln) erhalten bleibt. Das Seitenverhältnis beträgt dabei 1 zu Wurzel 2.

Ich brauche also zunächst ein Rechteck mit dem Seitenverhältnis 1 zu 1,414 dessen Fläche mindestens 1000 DIN A0 Blätter groß ist.

Hier haken meine Gedanken noch, eine Fläche von 1024 Leseratten wäre angenehm, aber dann wäre es wohl keine harte Nuss.

Je öfter ich die Aufgabenstellung lese, um so weniger verstehe ich.
Mehr ->
Wenn ich eine Fläche von 1024 DIN A0 hätte (32 x 32 Blätter), so könnte ich die ja zunächst beliebig in 1000 Teilflächen zerlegen. Es steht ja nur da, dass sich die Gesamtfläche in einem bestimmten Seitenverhältnis teilen lassen muss. So wie ich 1000 in 1x1000 = 2x500 = ... teilen kann, könnte ich die Gesamtfläche beliebig zerlegen.
Genauso könnte man eine kleinere Fläche mit genanntem Seitenverhältnis in 1x700 = 2x350 = ... Teilflächen zerlegen.
Ich kann aus der Aufgabenstellung nicht herauslesen, dass die Leseratten von Johann und Friedrich identische Größen haben müssen, ja ich kann nicht einmal erkennen, ob die Leseratten innerhalb einer Züchtung von gleicher Größe sind.

Ich könnte die Seiten des Rechtecks um einen gemeinsamen Faktor (7x10) erweitern - Erweiterung nach oben hin offen (?)

Und eigentlich weiß ich gar nicht, was hier gesucht wird.

Johann braucht eine Fläche von mindestens 1000 m², mit einem Seitenverhältnis von 1 zu 1,414.
Wurzel aus (1000/1,414) = 26,59148
Ein Rechteck der Größe 26,59148 x 37,60603 erfüllt die Bedingungen.

Friedrich braucht eine Fläche von mindestens 700 m², mit einem Seitenverhältnis von 1 zu 1,414.
Wurzel aus (700/1,414) = 22,248...
Ein Rechteck der Größe 22,248 x 31,46346 erfüllt die Bedingungen.

Ich glaube, ich steige an dieser Stelle schon wieder aus.
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Re: Leserattenzucht

Beitragvon Otmar » Dienstag 12. November 2013, 23:53

@Neuling,
ich habe den Rätseltext noch etwas erweitert und insbesondere die genauen Flächenmaße der beiden Rechtecke vom Vorjahr genannt. Dann habe ich noch eingefügt, dass die alten Zäune vom Vorjahr wiederverwendet werden. D.h. Johann und Friedrich verwenden in jedem Jahr gleich lange Zäune. Diese Information war anfänglich sicher noch nicht ausreichend formuliert. Zuletzt habe ich ergänzt, dass die umzäunten Flächen auch in diesem Jahr mit der höchstmöglichen Zahl an Leseratten belegt sind.

Die Information, dass eine Leseratte mindestens einen m² Lesefläche benötigt, gilt natürlich für jedes Jahr und jede Züchtung. Wie dieser m² aussieht, ist nicht spezifiziert. Die Lesefläche darf eine beliebige Form haben und diese Form darf für verschiedene Leseratten natürlich auch verschieden sein.

Noch was zu den Zäunen. Die Zäune sind zwar nicht elastisch aber flexibel (z.B. Maschendrahtzäune). Die Züchter können sie entlang jeder am Boden befindlichen Linie aufstellen.
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Re: Leserattenzucht

Beitragvon Neuling » Mittwoch 13. November 2013, 14:27

Okay, wenn die Flächen jetzt exakte Größen haben
Mehr ->
beträgt der Umfang des Rechtecks bei Johann
2 x (26,59 + 37,61) = 128,4 m
Die größte Rechteckfläche ergibt sich als Quadrat. 128,4 / 4 = 32,1 Seitenlänge ---> 1030,41 Fläche
Das heißt, Johann hätte Platz für 1030 Leseratten.
Eine Kreisfläche schließe ich erst einmal aus, weil die Fläche ja mit rechteckigen Buchseiten belegt werden kann (soll), wobei, von rechteckigen Buchseiten ist ja gar nicht die Rede.

Ohne zunächst vom Nachbarzaun zu profitieren, ergibt sich bei Friedrich:
2 x (22,248 + 31,463) = 107,422 ---> 107,422 / 4 = 26,856 Seitenlänge ---> 721,22 Fläche
Das heißt, Friedrich hätte Platz für 721 Leseratten.

Nun kann Friedrich aber seine Fläche vergrößern. Nimmt er eine ganze Quadratseite von Johann in Anspruch, hätte er 107,422 + 32,1 = 139,522 Umfang zur Verfügung
139,522 / 4 = 34,88 Seitenlänge ---> 1216,65 Fläche
Das hieße, er könnte 1216 Leseratten beherbergen.

So und nun nochmal zur Überlegung Kreis oder besser gesagt zum n-Eck, welches fast zum Kreis mutiert. Das hätte eine größere Fläche als das Quadrat. Für beide sicher von Vorteil. Nur wie liegen dann die Buchseiten im n-Eck? Und wie viel gemeinsamen Zaun sie dann haben sollten, übersteigt meine Rechenkünste. Ich kann nicht mal ohne irgendwo nachzulesen, die Fläche eines n-Ecks berechnen. :oops:

Und mit den Hinweis Winkelfunktion und Pi kann ich auch überhaupt nichts anfangen.
Damit ist mir klar, dass meine Berechnungen (Rundungsfehler eingeschlossen) noch nicht die Lösungen sein können.
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Re: Leserattenzucht

Beitragvon Otmar » Mittwoch 13. November 2013, 15:47

Also die Buchseiten dürfen auch überlappend gelegt werden und notfalls am Zaun passend zugeschnitten werden. Wichtig an den Buchseiten ist nur, dass es überall etwas zum Lesen gibt.

Anstelle der Leseratten hätte ich auch richtige Tiere und eine Weide nehmen können, allerdings hatte ich davon Abstand genommen, als ich auf der Suche nach üblichen Weideflächen je Tier schreckliche Bilder sehen musste...
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Re: Leserattenzucht

Beitragvon Neuling » Mittwoch 13. November 2013, 19:40

Man Otmar, dann ist das ja mit dem Auslegen der Buchseiten ein bisschen irreführend formuliert.

Na egal, für Johann hätte ich dann folgenden Vorschlag.
Mehr ->
Er formt seinen Zaun zu einem Kreis. Soweit ich weiß, liefert der bei gegebenem Umfang die größte Fläche. ???
128,4 / 3,14 = 40,89 Durchmesser ----> 1312,51 Kreisfläche (Grobrechnung)
Johann könnte somit 1312 Leseratten füttern.

Friedrich erst mal wieder ohne benachbarte Zaunnutzung.
107,442 / 3,14 = 34,22 Durchmesser ----> 919,24 Kreisfläche
Friedrich hätte so 919 Leseratten.

Ich habe zwar eine Vorstellung, wie das Feld von Friedrich aussehen muss - im weitesten Sinne eine Art zu- bzw. abnehmender Mond - aber ich kann so etwas weder auf dem Computer zeichnen, noch kann ich das berechnen.
Und es würde mich nicht wundern, wenn die gedachte Kreisfläche von Friedrich größer wäre, als die von Johann - so wie es bei den Quadraten auch der Fall ist.

Einen Spezialfall allerdings versuche ich mal zu berechnen.
Wenn ich zwei Kreisflächen von Johanns Größe hätte und diese so ineinanderschiebe, dass die beiden Kreisschnittpunkte mit den Mittelpunkten der beiden Kreise ein Quadrat bilden (also der Bogen wäre ein Viertel vom Umfang), so kann ich die Fläche berechnen, die sich überlappt. Diese wäre 2 mal (1/4 Kreis - 1/2 Quadrat), wobei Radius = Quadratseite ist.
Mit Werten aus meinen Berechnungen wäre das
2 x (1312,51/4 - 40,89²/8) = 238,26 m² überlappte Fläche
Friedrich hätte dann einen Kreismond von 1312,51 - 238,26 = 1074,25 m² Fläche und noch 107,442 - 3 x (128,4 /4) = 11,14 m Zaun übrig.
Bei dieser Konstellation hätte Friedrich schon 1074 Leseratten.

Wenn das jetzt nicht alles völlig daneben gegangen ist, wird der Kreis von Friedrich tatsächlich größer als der von Johann, aber wie viel, das kann ich nicht berechnen.
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Re: Leserattenzucht

Beitragvon Otmar » Samstag 16. November 2013, 00:08

@Neuling
Mehr ->
Neuling hat geschrieben:128,4 / 3,14 = 40,89 Durchmesser ----> 1312,51 Kreisfläche (Grobrechnung)

Prinzipiell OK aber nicht ganz richtig. Wenn du Pi mit 3 Dezimalstellen verwendest, dann wird das Endergebnis sicher nicht auf 6 Dezimalstellen genau sein. Der Kommentar in Klammern deutet das ja auch an.

Neuling hat geschrieben:Ich habe zwar eine Vorstellung, wie das Feld von Friedrich aussehen muss - im weitesten Sinne eine Art zu- bzw. abnehmender Mond - aber ich kann so etwas weder auf dem Computer zeichnen, noch kann ich das berechnen.

So wie du es schreibst, passt das schon. Allerdings kommt vorm Berechnen noch eine geometrische Überlegung, die die relative Lage der beiden Kreise zueinander festlegt. Mit dieser Überlegung umgeht man das an dieser Stelle sonst zu lösende Optimierungsproblem. Sie ist m.E. auch der Schlüssel zur Lösung des Rätsels. Für die nachfolgende Berechnung ist keine höhere Mathematik nötig, sondern einfache Winkelsätze im rechtwinkligen Dreieck und die Flächenberechnung eines Kreissektors (Tortenstück) reichen aus.
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Leserattenzucht

Beitragvon Musagetes » Mittwoch 28. Mai 2014, 17:27

Hallo Otmar,

die Schönheit eines mathematischen Rätsels zeigt sich in seiner Vollkommenheit und das ist dir mit diesem Rätsel voll gelungen.

Nach den ersten Überlegungen, hatte ich gleich eine Vermutung,

Mehr ->
….dass die beiden Flächen im Maximum wohl gleich groß sind….
....... was nun zu beweisen wäre!

Mehr ->
Die Form einer maximalen Flächenausdehnung in Abhängigkeit des Umfanges ist immer eine Kreisfläche, dies gilt hier für Johanns und Friedrichs Grundstück.

Demzufolge müssen zuerst die beiden Zaunlängen bestimmt werden.

Johanns Rechteck:
Aj = 1000m^2
Uj = 2a + 2b

Nach der Flächenteilung des Rechteckes ergibt sich folg. Beziehung
a/b = b/(a/2) => a^2 =2b^2 => a=sqrt(2)*b =>
a^2/sqrt(2) =1000m^2 => a=sqrt(sqrt(2) *1000m^2) =>
a = 37,606m a=sqrt(2)*b => b = a/sqrt(2) b = 37,606/sqrt(2) =>
b = 26,5948mUj = 2a + 2b Uj = 2*37,606m + 2*26,5948m =>
Uj = 128,395m
Somit wäre Johanns Zaun Uj = 128,395m lang.

Friedrichs Rechteck:
Af = 700m^2
Uf = 2c + 2d

Nun kann man analog von Johann verfahren.
a/b = b/(a/2) => a^2=2b^2 => a=sqrt(2)*b =>
a^2/sqrt(2) =700m^2 => a=sqrt(sqrt(2) *700m^2) =>
a = 31,4635m
a=sqrt(2)*b => b = a/sqrt(2) b = 31,4635/sqrt(2) =>
b = 22,248m
Uf = 2a + 2b Uf = 2*31,4635m + 2*22,248m =>
Uf = 107,423m

Demnach hat Johanns Kreisfläche einen Umfang von UA=128,395m mit einem Radius r1=UA/2Pi von rA=20,4347m und einer Kreisfläche von AA = 1311,8567m^2.

Zwei sich schneidende Kreise.PNG
Zwei sich schneidende Kreise.PNG (69.55 KiB) 1440-mal betrachtet


Nun kann man sich das weitere Vorgehen so vorstellen, dass Friedrich mit seinem Zaun mit der Länge UB1 ebenfalls eine Kreisfläche bildet
und diese kleinere Kreisfläche in Johanns Kreisfläche unter einen Öffnungswinkel Beta=ß (S1MaS2) so hineinschiebt,
dass Friedrichs Fläche AB1 erst einmal kontinuierlich bis zu seinem Grenzwert anwächst.
Friedrichs Fläche erreicht dann den Grenzwert ihres Maximums an Ausdehnung, wenn der Winkel (MA S1 MB) bzw. (MA S2 MB) von 90° erreicht ist.

Wie zu erkennen ist, ergibt sich die optimal Fläche AB1 für Friedrich, wenn man von der Kreisfläche AB die beiden Schnittflächen in Form der beiden Kreissegmente ASA und ASB in Abzug bringt.

Somit ist:

AB1 = AB - ASA - ASB
AB = r^2BPi
ASA= AASektor – AADreieck
ASB= ABSektor – ABDreieck
AASektor= r^2APi*Wa/360° (Wa=Winkel Alpha)
ABSektor= r^2BPi*Wß/360° (Wß=Winkel Beta)
AASektor + ABSektor = r^2APi*Wa/360° + r^2BPi*Wß/360°
AADreieck=S*hA/2 (S=Sehne; hA=Höhe Dreieck A)
ABDreieck=S*hB/2 (S=Sehne; hB=Höhe Dreieck B)

S =2rA*sin (Wa/2)
S =2rB*sin (Wß/2)
hA= rA*cos (Wa/2)
hB= rB*cos (Wß/2)

Somit kann dies in AADreieck =AAD und ABDreieck= ABD eingesetzt werden.
AAD=2rA*sin (Wa/2) * rA * cos (Wa/2)/2 => AAD = r^2A* sin (Wa/2) * cos (Wa/2)
ABD=2rB*sin (Wß/2) * rB * cos (Wß/2)/2 => ABD = r^2B* sin (Wß/2) * cos (Wß/2)

sin (Wa/2) * cos (Wa/2) = sin(Wa)/2) =>

AAD = r^2A* sin(Wa)/2
ABD = r^2B* sin(Wß)/2

AAD + ABD = [r^2A* sin(Wa) + r^2B* sin(Wß)]/2


ASA + ASB = AASektor + ABSektor – (AADreieck + ABDreieck) =>
ASA + ASB = r^2APi*Wa/360° + r^2BPi*Wß/360° - [r^2A* sin(Wa) + r^2B * sin(Wß)]/2

AB1 = AB – (ASA + ASB)
AB1 = r^2B Pi - r^2APi*Wa/360° - r^2BPi*Wß/360° + [r^2A* sin(Wa) + r^2B* sin(Wß)]/2


Zum anderen berechnet sich Friedrichs gegebene Kreisbogenlänge wie folgt.
Ub1 = [(2rB Pi(360°-ß)]360° => rB = 360°* Ub1/[2 Pi(360°-ß)] eingesetzt.

AB1 ={360° Ub1/[2 Pi(360°-ß)]}2 Pi - r^2APi*Wa/360° - {360° Ub1/[2 Pi(360°-ß)]}^2 Pi*Wß/360° + r^2A* sin(Wa)/2 +
{360° Ub1/[2 Pi(360°-ß)]}^2 * sin(Wß)/2


Aus obiger Sehnenberechnung S folgt
S =2rA*sin (Wa/2) S =2rB*sin (Wß/2) => 2rA*sin (Wa/2) = 2rB*sin (Wß/2) =>
sin(Wa/2) = rB/rA*sin (Wß/2) => sin(Wa/2) = 360°*Ub1*sin (Wß/2)/[2rA*Pi(360°-ß)]
2arcsin(Wa/2) = Wa => Wa = 2arcsin{360° * Ub1*sin(Wß/2)/[2rA*Pi(360°-ß)]}


In die Gleichung eingesetzt
AB1 ={360° Ub1/[2Pi(360°-ß)]}^2 Pi - r^2APi*2arcsin{360°*Ub1*sin(Wß/2)/[2rA*Pi(360°-ß)]}/360° - {360° Ub1/[2 Pi(360°-ß)]}^2 Pi*Wß/360°
+ r^2A* sin(2arcsin{360° * Ub1*sin(Wß/2)/[2rA*Pi(360°-ß)]})/2+{360° Ub1 /[2 Pi(360°-ß)]}^2*sin(Wß)/2


Etwas vereinfacht und umgeformt

AB1 = {Ub1*360°/[2Pi(360°-ß)]}^2 [Pi(1-ß/360°)+sinß/2] - r^2A/2{2arcsin[Ub1*360°*sin(ß/2)/(2rAPi(360°-ß))] – sin(2arcsin[Ub1*360°*sin(ß/2)/(2rAPi(360°-ß))])}

AB1 = [(107.423*360)/(2Pi(360-ß))]^2[Pi(1-ß/360)+sinß°/2]-20.435^2/2{2sin^-1[107.423*360sin(ß°/2)/(20.435 *Pi *2(360-ß))]-sin(2sin^-1[107.423*360sin(ß°/2)/(20.435*Pi*2(360-ß))])}

AB1=f(β)=[(UB1*360°)/(2π*(360°-β) )]^2*[π(1-β/(360°))+sinβ/2]-〖rA^2/2 {2〖sin〗^(-1) ((UB1*360°*sin(β/2))/(2rA π*(360°-β) ))-sin{ 2〖sin〗^(-1) [(UB1*360°*sin(β/2))/(2rA π*(360°-β) )]}}
AB1 soll maximal werden => Berechnung der Extremwerte aus dem Öffnungswinkel ß des Terms


Der Sachverhalt kann aber noch etwas vereinfacht werden.
Da Friedrichs Fläche seinen Grenzwert des Maximums an Ausdehnung bei einem Winkel (MA S1 MB) bzw. (MA S2 MB) von 90° erreicht.

Folgt daraus, dass die Winkel (MA S1 MB) + (MA S2 MB) = 180° entsprechen und somit sind die Wa + Wß = 180° => Wß = ß = 180° - Wa

Wenn aber die beiden Radien rA und rB einen Rechtenwinkel bilden, dann ergibt sich hieraus ein Rechteck, was dem Flächeninhalt der beiden Dreiecke der beiden Kreissektoren entspricht.
AAD + ABD = [r^2A* sin(Wa) + r^2B* sin(Wß)]/2 =>
rA* rB = [r^2A* sin(Wa) + r^2B* sin(Wß)]/2


Das nun in die obigen Ausgangsgleichung eingesetzt
AB1={360°Ub1/[2Pi(360°-ß)]}^2 Pi -r^2APi(180°-ß)/360°-{360°Ub1/[2 Pi(360°-ß)]}^2 Pi*ß/360° + rA*360° Ub1/[2 Pi(360°-ß)] =>

AB1= {Ub1*360°/[2Pi(360°-ß)]}^2*Pi(1 - ß/360°) + rA*Ub1*360°/[2 Pi(360°-ß)] - r^2APi(180°-ß)/360°
AB1= {107.423*360/[2Pi*(360-ß)]}^2 *Pi*(1 - ß/360) + 20.435 * 360 * 107.423/[2 Pi*(360-ß)] - 20.435^2 *Pi*(180-ß)/360

AB1=f(β)=[(UB1*360°)/(2π*(360°-β) )]^2*π (1-β/360)+rA 〖[(UB1*360°)/(2π*(360°-β) )]- 〗^(〖rA^2 )*π*((180°-β))/(360°)
AB1 soll maximal werden => Berechnung der Extremwerte aus dem Öffnungswinkel ß des Terms


Nach einer Maximum Extremwertberechnung für AB1 stellt sich ein Öffnungswinkel ß = 84.8325° ein.

AB1 = 1311,66m2

Demnach haben in diesem Jahr Johann als auch Friedrich 1311 Leseratten gezüchtet.


Wie sich zeigt, befinden sich bei diesem Rätsel sogar die Mathematik und die Psychologie im Einklang.
Mehr ->
„In der Gemeinschaft ist man gleich stark.“


Liebe Grüße
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Re: Leserattenzucht

Beitragvon Otmar » Montag 2. Juni 2014, 21:34

Und wieder wurde eine harte Nuss geknackt! :glueckwunsch: an Musagetes! :jaja:

Hab noch ein paar offene Baustellen bevor ich mich daran machen kann, meine Lösung von Handschrift in Grafik und Text zu konvertieren. Aber die oben stehende ausführliche Lösung von Musagetes erlaubt mir eine kleine Pause. :danke:
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Re: Leserattenzucht

Beitragvon Otmar » Mittwoch 4. Juni 2014, 22:17

Der Anfang meiner Lösung:
Mehr ->
Bevor es mit dem Rechnen losgeht, brauche ich ein paar geometrische Überlegung: Johann wird seien Zaun kreisförmig aufstellen, denn eine Kreisfläche ist größer als jede andere Fläche mit gleichem Umfang. Das wussten schon die alten Griechen. Nachdem Friedrich 2 Stellen an Johanns Zaun festgelegt hat, an denen er seinen Zaun befestigt, gewinnt auch er die größte Fläche, wenn sein Zaun einer Kreislinie folgt. Eine Begründung dafür findet man in Ansätzen hier. Offen bleibt noch, wo Friedrich dann seinen Zaun bei Johann befestigt und die Antwort auf diese Frage wird erleichtert, wenn man feststellt, dass Friedrichs Zaun senkrecht auf den Zaun von Johann trifft. Denn andernfalls ist Friedrichs Zaun nicht optimal. Erster Fall: Es gibt Tangenten an Friedrichs Zaun, die durch den Mittelpunkt von Johanns Kreisfläche gehen.
kreise1.png
kreise1.png (4.79 KiB) 1416-mal betrachtet
Sollte nun nicht der optimal angenommene Fall vorliegen, dann kann man Friedrichs Fläche durch Spiegelung eines Zaunstückes an einer solchen Tangente vergrößern, ohne die Zaunlänge zu verändern. In der Grafik ist der Flächengewinn grün dargestellt, die Tangenten sind rot gezeichnet. Friedrichs Fläche ist hellblau und Johanns Fläche ist gelb gezeichnet.

Zweiter Fall: Es gibt keine Tangente an Friedrichs Zaun (außer an den Sichelspitzen), die auch durch den Mittelpunkt von Johanns Fläche geht und Friedrichs Zaun mündet nicht senkrecht in Johanns Zaun.
kreise2.png
kreise2.png (8.5 KiB) 1416-mal betrachtet
Dann kann man zwei kleine "krummlinige" Dreiecke von Friedrichs Fläche abschneiden, so wie in der Grafik angedeutet. Dabei wird Friedrichs Fläche erst mal um die roten Teile verkleinert, aber Friedrich gewinnt etwas Zaunlänge, die er an der breitesten Stelle seiner sichelförmigen Fläche einsetzt und die Fläche des dunkelblauen Rechtecks gewinnt. Es kann natürlich sein, dass der rote Verlust größer ist, als der blaue Gewinn. In dem Fall kann er die roten Dreiecke kleiner wählen, z.B. so, dass die rote Fläche nur noch ein Viertel der anfänglichen roten Fläche beträgt. Die neuen roten Dreiecke sind den alten sehr ähnlich und die krummlinigen Kanten etwa halb so lang wie vorher. D.h. der Gewinn an Zaun ist etwa halb so groß wie am Anfang und damit wurde die blaue Fläche in etwa halbiert. Friedrich kann nun so oft die roten Flächen vierteln, bis die dunkelblaue Fläche (die ja bei jedem Schritt nur halbiert wird, größer ist, als die beiden roten zusammen. Also war auch in diesem Fall Friedrichs Zaun nicht optimal.
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