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Es seien R bzw. r die Radien von Johanns bzw. Friedrichs Kreis. L und l sind die Längen der Zäune von Johann und Friedrich in Metern und µ sei der halbe Mittelpunktswinkel zu Friedrichs Zaunenden im Kreis auf dem Friedrichs Zaun aufgestellt ist in Grad.
Da das Dreieck mit den beiden Kanten r und R wegen obiger Überlegung rechtwinklig ist, gilt tan(µ)=R/r. Weiterhin ist l=2Pi r * (180-µ)/180. Bezeichnen wir das Verhältnis R/r mit der Unbekannten x dann ist:
l=(2Pi R/x)*(180-µ)/180 ---> x=2Pi*(R/l)*(180-µ)/180.
Da die Quadrate der Zaunlängen proportional zu den Leseflächen vom Vorjahr sind, gilt:
L²/1000 = l²/700 ---> l=L*Wurzel(7/10) und damit
x=2Pi*(R/(L*Wurzel(7/10))*(180-µ)/180) und wegen L=2Pi*R ist
x=1/(180*Wurzel(7/10))*(180-µ) und wegen tan(µ)=x und 0<µ<90 ist
x=1/(180*Wurzel(7/10))*(180-arctan(x))
Diese Gleichung lässt sich nicht nach x auflösen. Man muss sie numerisch lösen. Hier geht das z.B. so: Man setzt einen Startwert für x in die rechte Seite ein und verwendet das Ergebnis als neuen Startwert. Die Folge an x Werten konvergiert gegen das richtige Ergebnis. Dabei sind die Zwischenwerte abwechseln größer und kleiner als das gesuchte x. Ich habe für x mit dem Wert 1 begonnen, also erstmal r=R als erste Näherung angenommen. Zur einfachen Rechnung mit dem Taschenrechner habe ich M=-1/(180*Wurzel(7/10)) in den Speicher genommen und nach Eingabe des Startwertes 1
x=(arctan(x)-180)*M
durch Wiederholung der Tastenfolge:
[INV][TAN]-180=*[RM]=
immer genauer bestimmt. Es ergaben sich folgende Werte für x:
1,
0.8964214570,
0.9171803768,
0.9128463085,
0.9137437973, (=x4)
0.9135576292 (=x5)
....
Nun muss x zwischen den letzten beiden Werten liegen. Die erreichte Genauigkeit reicht, um das Rätsel zu lösen. µ=arctan(x) liegt dann zwischen µ5=42.41349929 und µ4=42.41931295 (in Grad).
Nun geht es zur Flächenberechnung. Seien a und b die Kanten von Johanns vorjähriger Rechteckfäche in Meter, dann gilt a/b=b/(a/2) oder a²=2b² oder a=Wurzel(2)*b. Und wegen a*b=1000 ist b=1000/a und a=Wurzel(2)*1000/a also a=Wurzel(Wurzel(2)*1000). Weiterhin ist:
L=a+b+a+b=2(a+b)=2(a+1000/a)=128.39502
R=L/(2Pi)=20.434702
l=L*Wurzel(7/10)=107.42298
für r habe ich nur Näherungen:
r4=R/x4=22.363711
r5=R/x5=22.368268
Tatsächlich muss der Radius r von Friedrichs Kreis zwischen r4 und r5 liegen. Mit den Werten R, r4, r5, µ4 und µ5 kann man nun eine obere und untere Schranke für Friedrichs Lesefläche ausrechnen. Das geht so:
Es sei A die Kreisfläche in m² mit dem Radius r. F die Fläche in m² des Kreissegmentes im Keis mit Radius r und Öffnungswinkel 2µ Grad und schließlich
J die Fläche in m² des anderen Segmentes im Kleis mit Radius R und Öffnungswinkel 2*(90-µ) Grad. Folgende Grafik veranschaulicht die Formel für die Fläche F:
F=A*(µ/180) - 2*((r*cos(µ)r*sin(µ))/2)=Pi*r²(µ/180)-r²cos(µ)sin(µ)=Pi*r²(µ/180)-r²sin(2*µ)/2
analog:
J=Pi*R²((90-µ)/180)-R²cos(90-µ)sin(90-µ)=Pi*R²((90-µ)/180)-R²sin(µ)cos(µ)=Pi*R²((90-µ)/180)-R²sin(2*µ)/2
und
A=Pi*r²
Friedrichs Lesefläche Y ist dann Y=A-F-J
Nun kann man aus den Intervallen für r4<=r<=r5 und µ5<=µ<=µ4 auch Intervalle für F, J, A und schließlich Y bestimmen:
Fmin=Pi*r4²(µ5/180)-r5²sin(2*µ4)/2
Fmax=Pi*r5²(µ4/180)-r4²sin(2*µ5)/2
Jmin=Pi*R²((90-µ4)/180)-R²sin(2*µ4)/2
Jmax=Pi*R²((90-µ5)/180)-R²sin(2*µ5)/2
Amin=Pi*r4²
Amax=Pi*r5²
Ymin=Amin-Fmax-Jmax
Ymax=Amax-Fmin-Jmin
Nach Einsetzen erhält man 1311.066587 <= Y <= 1311.857949. Also kann Friedrich in diesem Jahr 1311 Leseratten züchten. Genau so viel wie Johann,
denn Johanns Lesefläche ist Pi*R²=1311.86 zwar etwas größer als die Fläche von Friedrich, aber der Platz reicht auch nur für 1311 Leseratten.
- kreise3.PNG (8.01 KiB) 834-mal betrachtet
Da das Dreieck mit den beiden Kanten r und R wegen obiger Überlegung rechtwinklig ist, gilt tan(µ)=R/r. Weiterhin ist l=2Pi r * (180-µ)/180. Bezeichnen wir das Verhältnis R/r mit der Unbekannten x dann ist:
l=(2Pi R/x)*(180-µ)/180 ---> x=2Pi*(R/l)*(180-µ)/180.
Da die Quadrate der Zaunlängen proportional zu den Leseflächen vom Vorjahr sind, gilt:
L²/1000 = l²/700 ---> l=L*Wurzel(7/10) und damit
x=2Pi*(R/(L*Wurzel(7/10))*(180-µ)/180) und wegen L=2Pi*R ist
x=1/(180*Wurzel(7/10))*(180-µ) und wegen tan(µ)=x und 0<µ<90 ist
x=1/(180*Wurzel(7/10))*(180-arctan(x))
Diese Gleichung lässt sich nicht nach x auflösen. Man muss sie numerisch lösen. Hier geht das z.B. so: Man setzt einen Startwert für x in die rechte Seite ein und verwendet das Ergebnis als neuen Startwert. Die Folge an x Werten konvergiert gegen das richtige Ergebnis. Dabei sind die Zwischenwerte abwechseln größer und kleiner als das gesuchte x. Ich habe für x mit dem Wert 1 begonnen, also erstmal r=R als erste Näherung angenommen. Zur einfachen Rechnung mit dem Taschenrechner habe ich M=-1/(180*Wurzel(7/10)) in den Speicher genommen und nach Eingabe des Startwertes 1
x=(arctan(x)-180)*M
durch Wiederholung der Tastenfolge:
[INV][TAN]-180=*[RM]=
immer genauer bestimmt. Es ergaben sich folgende Werte für x:
1,
0.8964214570,
0.9171803768,
0.9128463085,
0.9137437973, (=x4)
0.9135576292 (=x5)
....
Nun muss x zwischen den letzten beiden Werten liegen. Die erreichte Genauigkeit reicht, um das Rätsel zu lösen. µ=arctan(x) liegt dann zwischen µ5=42.41349929 und µ4=42.41931295 (in Grad).
Nun geht es zur Flächenberechnung. Seien a und b die Kanten von Johanns vorjähriger Rechteckfäche in Meter, dann gilt a/b=b/(a/2) oder a²=2b² oder a=Wurzel(2)*b. Und wegen a*b=1000 ist b=1000/a und a=Wurzel(2)*1000/a also a=Wurzel(Wurzel(2)*1000). Weiterhin ist:
L=a+b+a+b=2(a+b)=2(a+1000/a)=128.39502
R=L/(2Pi)=20.434702
l=L*Wurzel(7/10)=107.42298
für r habe ich nur Näherungen:
r4=R/x4=22.363711
r5=R/x5=22.368268
Tatsächlich muss der Radius r von Friedrichs Kreis zwischen r4 und r5 liegen. Mit den Werten R, r4, r5, µ4 und µ5 kann man nun eine obere und untere Schranke für Friedrichs Lesefläche ausrechnen. Das geht so:
Es sei A die Kreisfläche in m² mit dem Radius r. F die Fläche in m² des Kreissegmentes im Keis mit Radius r und Öffnungswinkel 2µ Grad und schließlich
J die Fläche in m² des anderen Segmentes im Kleis mit Radius R und Öffnungswinkel 2*(90-µ) Grad. Folgende Grafik veranschaulicht die Formel für die Fläche F:
- kreise4.png (5.51 KiB) 834-mal betrachtet
F=A*(µ/180) - 2*((r*cos(µ)r*sin(µ))/2)=Pi*r²(µ/180)-r²cos(µ)sin(µ)=Pi*r²(µ/180)-r²sin(2*µ)/2
analog:
J=Pi*R²((90-µ)/180)-R²cos(90-µ)sin(90-µ)=Pi*R²((90-µ)/180)-R²sin(µ)cos(µ)=Pi*R²((90-µ)/180)-R²sin(2*µ)/2
und
A=Pi*r²
Friedrichs Lesefläche Y ist dann Y=A-F-J
Nun kann man aus den Intervallen für r4<=r<=r5 und µ5<=µ<=µ4 auch Intervalle für F, J, A und schließlich Y bestimmen:
Fmin=Pi*r4²(µ5/180)-r5²sin(2*µ4)/2
Fmax=Pi*r5²(µ4/180)-r4²sin(2*µ5)/2
Jmin=Pi*R²((90-µ4)/180)-R²sin(2*µ4)/2
Jmax=Pi*R²((90-µ5)/180)-R²sin(2*µ5)/2
Amin=Pi*r4²
Amax=Pi*r5²
Ymin=Amin-Fmax-Jmax
Ymax=Amax-Fmin-Jmin
Nach Einsetzen erhält man 1311.066587 <= Y <= 1311.857949. Also kann Friedrich in diesem Jahr 1311 Leseratten züchten. Genau so viel wie Johann,
denn Johanns Lesefläche ist Pi*R²=1311.86 zwar etwas größer als die Fläche von Friedrich, aber der Platz reicht auch nur für 1311 Leseratten.
