Zur Lösung wird von allen möglichen Zuständen ausgegangen, in denen bereits 4 Kugeln im Gerät sind. Nach Einwurf der fünften Kugel gibt es dann entweder einen Gewinner oder die mittlere Kugel wird entnommen und man hat wieder einen vier Kugel Zustand. Für jeden dieser Zustände wird die Wahrscheinlichkeit gesucht, dass Anton gewinnt. Wegen der Rechts-Links-Spiegelsymmerie des Gerätes, des Zufalls und der beiden Gewinnstellungen müssen die Wahrscheinlichkeiten für Antons Sieg ausgehend von zwei spiegelsymmetrischen Stellungen gleich sein. Deshalb werden spiegelsymmetrische Stellungen von vornherein auch als gleich betrachte und es gibt noch 6 verschiedene Anfangszustände A, B, C, D, E und F zu untersuchen:
A = SWWW oder WWWS
B = WSWW oder WWSW
C = SSWW oder WWSS
D = SWSW oder WSWS
E = SWWS
F = WSSW
Für A, B, C und D wird immer die linken Stellungen betrachtet. Die rechten sind nur mit angegeben, falls mal eine rechte Stellung entsteht. Bildlich kann man in so einem Fall das Gerät einfach um 180 drehen, so dass die Seiten vertauscht sind oder auf die andere Seite laufen und dort weiterspielen.
Wenn bei A = SWWW die fünfte Kugel, das ist eine schwarze, nach rechts fällt, entsteht Antons Gewinnanordnung. Fällt sie nach links, hat noch keiner gewonnenund die mittlere Kugel kommt raus. Es entsteht SSWW = C.
D.h. wenn A bereits im Gerät ist, dann ist Antons Gewinnwahrscheinlichkeit P(A) = 1/2 + 1/2*P(C). Dabei sei P(C) Antons Gewinnwahrscheinlichkeit, wenn C im Gerät ist. Schreibt man abkürzend für Antons Gewinnwahrscheinlichkeiten, für den Fall, dass bereits der Zustand X im Gerät ist, die Kleinbuchstaben der Zustände, also x = P(X) und multipliziert die Gleichung mit 2, dann enhält man die einfache Relationen:
2a = 1+c.
Genau so macht man das jetzt für B, C und D:
2b = a+d (Bei D wurde gespiegelt.)
2c = b+c
2d = 0+a (Bei der Gewinnmöglichleit für Berta habe ich die 0 für Antons Gewinnwahrscheinlichkeit explizit stehen lassen.)
Und daraus erhält man, beginnend von unten, a=2d, b=c, 2b=2c=a+d=2d+d=3d, 2a=4d=1+c=1+3/2*d ---> 8d=2+3d ---> d=2/5.
Und das Einsetzen: a=4/5, b=c=3/5.
Nun kann man noch Relationen für die Zustände E und F machen:
2e = d+d ---> e=d=2/5
2f = b+b ---> f=b=3/5
Jetzt braucht man nur noch die Anfangswahrscheinlichkeit dafür, dass ein Zustand nach Einwerfen von vier Kugeln aus der Urne entstanden ist. Wem nicht sofort klar ist, dass jede der 10 möglichen Anordnungen gleichwahrscheinlich ist, kann sich das z.B. so überlegen:
Dazu nummeriere man die Kugeln von 1 bis 5, ziehe vier davon zufällig aus der Urne und werfe sie nacheinander ins Gerät. Der Weg der ersten Kugel ist egal, die Wege der anderen drei haben einen Einfluß auf die Anordnung im Gerät. Beim Herausnehmen der ersten 4 Kugeln mit Nummer gibt es 5!=120 Möglichkeiten. Für die Wegekombinationen der zweiten, dritten und vierten Kugel gibt es 8 Möglichkeiten. Machen wir für alle Wegekombination und alle Urnenziehungen insgesamt 8*120 Versuche. Betrachtet man alle 120 Versuche für eine spezielle der 8 Wegkombination, dann permutiert diese spezielle Wegkombination die anfängliche Zugfolge immer auf die gleiche Art und Weise. Da so eine Permutation aber umkehrbar ist, heißt das, dass auch im Gerät 120 verschiedene Anordnungen für diese spezielle Wegkombination entstanden sind. Also entsteht bei 8*120 Versuchen jede mögliche Anordnung der von 1 bis 5 nummerierten Kugeln genau 8 mal, ist also gleichwahrscheinlich. Für uns sind aber nicht die Nummern wichtig, sondern nur die Farben. Zu einer Farbkombination gehören genau 2 * 6 = 12 Nummernkombinationen, da man die schwarzen Kugeln tauschen kann (2 Möglichkeiten) und auch unabhängig davon die drei weißen Kugeln (6 Möglichkeiten). D.h. eine Farbkombination tritt mit Wahrscheinlichkeit 12 / 5! = 1/10 auf.
Und jetzt zum Finale:
Antons Gewinnwahrscheinlichkeit ist:
1/10 * ( 2 * (a + b + c + d) + e + f) = 1/10 * (2 * (4/5 + 3/5 + 3/5 + 2/5) + 2/5 + 3/5) = 29/50.
Wenn nicht Anton gewinnt, dann Berta mit Wahrscheinlichkeit 21/50. D.h. das Spiel ist fair, wenn Anton 29 Cent und Berta 21 Cent in die Kasse legt und um 50 Cent gespielt wird. Weniger geht nicht.
