Beginnend mit einer Skizze:
- fünfkorn.png (17.56 KiB) 1316-mal betrachtet
Kleine Konvention für diese Lösung: Alle Längen sind in Meter und alle Flächen in Quadratmeter angegeben.
In der Skizze ist die Agrarfläche mit den 4 Feldern dargestellt. Da alle 4 von der Mitte bis zum Rand reichen, ist eine Ecke jedes Feldes der Kreismittelpunkt und die diagonal gegenüberliegende Ecke liegt auf dem Rand, weshalb die Diagonale jedes Feldes bei allen 4 im Kreis liegenden Feldern dem Kreisradius r = 650/2 = 325 entspricht. Zeichnet man beide Diagonalen eines Feldes, so sieht man, dass der Umkreis der Felder ein Kreis mit Durchmesser 325 ist. Aus dem rechten Dreieck in der Skizze, ließt man ab, dass die Rechtecksfläche des gelben Rechtecks F=2*(r*h/2) = r*h ist. Wir wählen die Bezeichnung für a und b so, dass b >= a ist, also P zwischen M und B liegt. Dann wird bei Verschiebung von P nach links h immer größer und wegen F=r*h auch die Rechtecksfläche immer größer. Sie nimmt ein Maximum für h = r/2 an, wenn P auf M liegt. Also ist
F <= r²/2. Bei der Verschiebung von P nach links wird auch q größer und wegen a²=h²+q² nach Phytagoras wird auch a immer größer und wegen b²=r²-a² wird dann b immer kleiner. D.h. umgekehrt, wenn
b kleiner wird, wird F größer solange b >= a ist.
Die Weizenfläche W ist also kleiner gleich r²/2 = 52812,5. Und die ganzzahlige Haferfläche H <= W/3 ist höchstens 17604. Wenn die gelbe Fläche das Haferfeld darstellt, dann ist H = a*b = wurzel(r²-b²)*b. Nun wissen wir, wenn b kleiner wird, dann wird H größer, solange b>=a was wir annehmen dürfen. Nun ist b kleiner als r und wir probieren b von 324 bis 321 durch, da bei b = 320 die Fläche H = 18172,507 > 17604 schon zu groß für das Haferfeld ist. Für 321 <= b <= 324 ist nur bei b = 323 die Seite a ganzzahlig, da nur dort a² = r²-b² eine Quadratzahl ist. Also haben wir die Haferfläche mit H=wurzel(325²-323²)*323 und merken uns
H = 11628.
Jetzt brauchen wir noch die Gerstenfeldfläche G. Mit den Angaben zur Dinkelfläche D und zur Roggenfläche R kommen wir weiter. Nehmen wir an G=i*j und R=l*m. Wobei i und j bzw. l und m die ganzzahligen Seiten des Gersten- und Roggenfeldes sind. Wir wissen noch D=R-G. Nun kommt der Trick. Wir betrachten die Summen der Rechtecksseiten u=i+j und v=l+m. Da r die Diagonale auch dieser Rechtecke ist, gilt:
u²=(i+j)² = i²+j²+2ij = r²+2R und
v²=(l+m)² = l²+m²+2lm = r²+2G also
u²-v²=(u+v)(u-v)=2(R-G)=2D
Wir setzen nun noch x=u+v und y=u-v und erhalten
x*y = 2D = 2*53*336 = 2^5*3*7*53
Und wegen R <= r²/2 ist u² = r²+2R <= r² + 2 r²/2 = 2r² = 211250. Also u und analog v sind kleiner gleich 459. Wegen der Dreiecksungleichung (z.B. gelbes Dreieck) sind beide Kathetensummen u und v natürlich auch größer als r=325. Also gilt für x=u+v: 650<x<=918. Da x nur Primfaktoren aus xy=2^5*3*7*53 haben kann ist x entweder 2^5*3*7=672 oder x ist durch 53 teilbar.
Aus x=672 --> y=53 --> u=(x+y)/2=362,5 was nicht geht, da u=i+j ganzzahlig sein muss. Also ist x durch 53 teilbar und wegen 650/53 < x/53 <= 918/53 gilt 13 <= x/53 <= 17. Nun hat x/53 nur Primfaktoren aus 2^5*3*7 und kann deshalb nur einen der beiden Werte 14 oder 16 annehmen.
Angenommen x/53=14 --> x=742 --> y=48 --> v=(x-y)/2=347 --> G=(v²-r²)/2 = 7292. Das kann nicht sein, da bei der Berechnung des Haferfeldes kein Feld mit einer Fläche unter 11628 ganzzahlige Seiten hatte. Also ist x/53=16 --> x=848 --> y=42 --> v=(x-y)/2=403 --> G=(v²-r²)/2= 28392 und wir merken uns
G=28392.
Zu den Semmeln. Sepp hat voriges Jahr n Semmeln gekauft. Wenn er dieses Jahr k Semmeln kaufte, gilt n*G = k*H oder n/k = H/G = 11628/28392 = 969/2366. Der rechtsseitige Bruch lässt sich nicht mehr kürzen. Also ist n = z*969 und k = z*2366 mit einer noch zu bestimmenden ganzen Zahl z. Dieses z ist gleich 1, denn wäre z = 0 hätte Sepp keine Semmeln gekauft und wäre z >= 2 dann hätte Sepp voriges Jahr mindestens 2 * 969 = 1938 Semmeln gekauft, was aber nicht der Fall war, da er voriges Jahr höchstens 366*5 = 1830 Semmeln kaufte.
Also hat Sepp dieses Jahr genau
2366 Semmeln gekauft.
