Ein Mathematiker sucht zum Musizieren eine Tonleiter mit vier Tönen. Die vier Töne liegen innerhalb einer Oktave. Genauer gesagt, die Frequenz der vier Grundtöne ist mindestens 450 Hertz aber kleiner als 900 Hertz. Nun macht sich der Mathematiker Gedanken über die Obertöne, also ganzzahlige Vielfache, der Grundtöne. Da er schlecht hört, ignoriert er alle Obertöne, die eine höhere Frequenz als 4500 Hertz haben. Von den verbleibenden Obertönen wünscht er:
- Damit alles harmonisch klingt, sollen je zwei beliebige ausgewählte Grundtöne mindestens einen gemeinsamen Oberton haben.
- Die Anzahl der gemeinsamen Obertöne, gezählt über alle Paare von zwei Grundtönen, soll maximal sein.
Beispiel:
Grundtöne: 455 Hz; 546 Hz; 682,5 Hz und 819 Hz
455 Hz und 546 Hz haben den Oberton 2730 Hz gemeinsam.
455 Hz und 682,5 Hz haben die Obertöne 1365 Hz, 2730 Hz und 4095 Hz gemeinsam.
455 Hz und 819 Hz haben den Oberton 4095 Hz gemeinsam.
546 Hz und 682,5 Hz haben den Oberton 2730 Hz gemeinsam.
546 Hz und 819 Hz haben die Obertöne 1638 Hz und 3276 Hz gemeinsam.
682,5 Hz und 819 Hz haben den Oberton 4095 Hz gemeinsam.
Die Anzahl der gemeinsamen Obertöne, gezählt über alle Paare von zwei Grundtönen, ist diesem Beispiel 9.
Wer findet die Frequenzen der vier Grundtöne für die Tonleiter des Mathematikers?
Liebe Grüße, Otmar.