Es gibt drei verschiedene Rundwege durch alle 4 Punkte
ABCD
ABDC
ADBC
deren weitere Unterscheidung durch Startpunkt und Umlaufrichtung die theoretischen 4! Rundwege ergeben.
Faktisch sind diese Rundwege gleich lang, wenn
|BC|+|AD| = |BD|+|AC|
=> ABCD gleich lang wie ABDC
|AB|+|CD| = |AD|+|BC|
=> ABDC gleich lang wie ADBC
womit dann zwangsweise alle drei Rundwege gleich lang sind und somit zwangsweise
|AB|+|CD| = |BD|+|AC|
Umgeformt kann man schreiben
|AC|-|BC| = |AD|-|BD| = const.
woraus sich schlussfolgern lässt, dass C und D auf eine Hyperbelast mit Fokussen A und B liegen müssen.
Das gleiche gilt für B und D bezüglich A und C, und, wenn beides gilt, zwangsweise auch für A und D bezüglich B und C.
Beginne ich mit 3 Punkten A, B und C, so sind diese drei Hyperbeläste wohldefiniert, und D liegt auf einem ihrer Schnittpunkte (und, lässt sich durch Umformen zeigen, sind alle Bedingungen für die neuen Hyperbeläste mit Fokus D und A, B, oder C erfüllt).
Die Betrachtung zweier Hyperbeläste ist hinreichend, wie ich bereits belegt habe. Bei gleichschenkligen Dreiecken können die Hyperbeläste teils zu Geraden werden.
- Otmars Handlungsreisender.png (26.23 KiB) 1417-mal betrachtet
Ich lege nun meine Punkte ABC so vor mich hin, dass das Dreieck, das sie bilden, auf seiner längsten Seite liegt und die zweitlängste oben links (o.b.d.a, sonst spiegele ich; Abb. 1).
Mit dem Zirkel konstruiere ich |AC| - |BC| und |AB| - |BC| (Abb. 1) sowie die Seitenmittelpunkte Mab und Mac (Ich hätte D statt B als einen der Drei Punkte wählen sollen ... dann hätten wir jetzt Mad Mac
Abb. 2, ohne Konstruktion, da trivial). Mit den Durchmessern 2b und 2c (Abb. 1) lege ich zwei Kreise um Mab und Mac. Aus diesen ermittele ich schon mal die zwei Scheitelpunkte Sab und Sac der beiden Hyperbeln.
Mit je zwei Tangenten (Abb. 3) von B an den Kreis um Mab mit Radius b bzw. von C an den Kreis um Mac mit Radius c konstruiere ich die Asymptoten gab1, gab2, gac1, gac2 der beiden Hyperbeln.
Für die folgende Diskussion müsste ich jeweils mit der Stetigkeit und der Monotonie der Hyperbel-Halbäste und ihrer ersten Ableitungen argumentieren - und das Achsensystem einmal nach AB und einmal nach AC ausrichten - ausführliche Betrachtungen spare ich mir mal an dieser Stelle.
Vereinfacht gesprochen: Am Scheitelpunkt (wenn die Hauptachse waagrecht liegt) ist die Steigung unendlich, sie nimmt streng monoton ab (oberer rechter Halbast), und ist stets größer als die Steigung der Asymptoten. Kippe ich die Hauptachse so, dass die Asymptote immer noch eine positive Steigung hat, so ändert sich prinzipiell nix außer der Unendlichkeit am Scheitelpunkt.
Mit dieser Argumentation lässt sich zeigen: Im Inneren des Dreiecks gibt es IMMER GENAU EINEN Schnittpunkt, d.h. einen möglichen Punkt D1.
Ferner: Außerhalb gibt es theoretisch bis zu zwei mögliche weitere Punkte, und zwar dann und GENAU dann, wenn sich zwei Asymptoten (Achtung: Nur die Halbgeraden!) irgendwo schneiden. Da ich diese mit Zirkel konstruiert habe, lässt sich auch deren Winkel zueinander bestimmen.
Aber:
- Es lässt sich zeigen, dass gab2 immer steiler ist als gac2 (da |AB| die längere Seite ist), so dass es unterhalb von AB keinen Schnittpunkt geben wird.
- gab1 und gac2 können sich schneiden, das ist im Einzelfall zu ermitteln.
Klitzekleine Ungenauigkeit: Ich habe noch nicht explizit bewiesen, dass sich die beiden Hyperbel-Halbäste, die sich an gab1 und gac2 annähern, nur einmal schneiden können.