Falltür-Rätsel

[apfelbaum2]

Hallo,
hier eine Rätsel-Aufgabe...

Es läuft eine Rätsel-Aktiv-Show, im Fernsehen, wo zwei Spieler miteinander um einen Hauptgewinn von 16,384 Millionen Euro spielen.
Spielablauf ist folgendermaßen:
Es gibt Falltüren, ganzzahlig aufsteigend nummeriert, von einschließlich 7 bis einschließlich 42.
Der Spielleiter, welcher auch zum Schluss den Gewinn ausgeben wird (falls einer anfällt…), überlegt sich eine Halbzahl zwischen einschließlich 6.5 bis einschlließlich 42.5 (also 6.5, 7.5, 8.5, … 40.5, 41.5 oder 42.5) und gibt diese geheim ins Spielsystem ein.
Anschließend müssen die Spieler erraten, welche Zahl der Master gewählt hat. – Die Spieler wissen, wie das System des Spiels ist, und dass der Master eine Komma-5 Zahl in dem Bereich gewählt hat.
Wenn die Spieler einen Hinweis haben wollen, dann muss sich einer von ihnen auf die Falltür mit der entsprechenden Zahl, die sie testen wollen, stellen und sagen „Fall ich, oder fall ich nicht!“.
Passiert anschließend nichts, so ist die gewählte Zahl des Spielleiters größer als die worauf der Spieler steht, liegt die Master-Zahl aber unter (also ist kleiner) der/als die „Testzahl“ der Falltür, dann geht diese auf und der Spieler ist aus dem Spiel.
Der andere kann weiterspielen und falls ein Gewinn zustande kommt wird dieser geteilt. (Weil sie ja eigentlich als Team spielen…)
Fällt jedoch der 2. Spieler auch, dann können sie keinen Hinweis mehr „erproben“. Doch weiß einer von beiden die Zahl des Masters nun, dann gehört der Gewinn ihnen. Sie haben nur eine Tippmöglichkeit.
Doch leider nicht ganz, denn der Gewinn wird bei jedem Hinweis den die Spieler erspielen halbiert. – Also 1. Hinweis --> aus 16,384 Millionen wird 8,192 Millionen Euro --> 2. Hinweis --> 4,096 Millionen, usw…
Die Spieler müssen nicht spielen bis sie fallen, sie können auch vorher einen Tipp direkt an den Master abgeben. Stimmt er, gewinnen sie, stimmt er nicht ist das Spiel ohne Gewinn vorbei.

Wie würdest du mit deiner/deinem Partner/in spielen um 100 % einen Gewinn zu haben, und wie hoch wäre dann dein Gewinn??

lg apfelbaum

[kurth]

Mal ein Versuch........

Mehr ->

Sie brauchen m.M. schlechtestenfalls 8 Versuche :

Die erste Falltüre ist 14, wenn sie fällt versucht der zweite Spieler 7,8,9,10, 11,12,13.......,( max 8 Versuche), wenn nicht, kommt
die Falltür 21 , wenn sie fällt versucht der andere 15, 16, 17, 18, 19, 20 ... ( max 8 Versuche), wenn nicht, kommt
die Falltür 27 , wenn sie fällt versucht der andere 22,23,24,25,26 ...(max 8 Versuche) , wenn nicht, kommt
die Falltür 32, wenn sie fällt versucht der andere 28, 29, 30, 31 (max 8 Versuche) , wenn nicht, kommt
die Falltür 36 ,wenn sie fällt versucht der andere 33, 34, 35 (max 8 Versuche) , wenn nicht, kommt
die Falltür 39, wenn sie fällt versucht der andere 37, 38 (max 8 Versuche) , wenn nicht, kommt
die Falltür 41 , wenn sie fällt versucht der andere 40 (8 Versuche).

Das wären dann für Beide max. 4.096.000 €, mindestens 64.000 € und für jeden mind. 32.000 €

Mal sehen, ob es stimmt!

lg kurth

[apfelbaum2]

@kurth: Passt, richtig!
mfg

[Otmar]

Wenn ich mich da jetzt nicht komplett verhauen habe, dann ist das Ergebnis

Mehr ->

Ich hab mal angenommen, dass der Moderator seine Zahl nach dem Indifferenzprinzip zieht und dann Erwartungswerte für den Gewinn beider Spieler berechnet. Wenn sich die Beiden nicht ganz dumm anstellen, erhalten sie einen Erwartungswert für den Gewinn von Einsatz / N, wobei der Einsatz = 16384000 Euro waren und N die Anzahl der Möglichkeiten für den Moderator = 1 + 42 - 7 + 1 = 37, jede mit der Wahrscheinlichkeit 1/N. Also ist der Erwartungswert des Gewinns 1684000/36 = 442810,81... Euro. Sie müssen folgendes beachten: Ist bereits ein Spieler durchgefallen, dann muss der verbleibende Spieler sich immer so auf eine Falltür stellen, dass es genau eine kleinere noch mögliche Zahl des Spielleiters gibt. Ist nur noch eine mögliche Zahl übrig, wird diese genannt. Sind noch beide Spieler im Spiel, dürfen sie sich nicht auf Falltüren stellen, die ohnehin keine neue Information liefern. Jetzt haben sie noch sehr viele Möglichkeiten. Alle liefern nach meinen Überlegungen den gleichen Erwartungswert. Am einfachsten wäre es, wenn ein Spieler nacheinander die Falltüren 7, 8, ..., 42 betritt und sobald er durchgefallen ist, seine Falltürzahl um 0,5 verringert nennt.

Jedenfalls wäre das so, wenn sich der Grundbetrag beliebig oft teilen ließe. Um Schwierigkeiten mit geteilten Cents aus den Weg zu gehen, könnte der erste Spieler sich anfangs auf die Falltür 24 stellen, dann bleiben für die weiteren Spiele nur noch maximal 17 Teilungen wenn er durchfällt. Wenn nicht stellt er sich beim zweiten Spiel auf z.B. auf Falltür 30. Der Betrag von 2^19*5^5 Cent lässt sich so bei jeder Teilung ohne Rest aufteilen und auch am Ende nochmal durch zwei teilen, weil der Gewinn ja auf die Spieler aufgeteilt werden soll.

Jedenfalls ist das so wenn man nach dem Erwartungswert des Gewinns fragt. Eventuell war aber auch nach dem größten Minimalgewinn gefragt. Das konnte ich aus dem Text aber nicht herauslesen. Kommt ganz Darauf an, was man will. Die beiden haben viele Möglichkeiten ihre Gewinnwahrscheinlichkeitsfunktion zu gestalten, alle mit dem gleichen Erwartungswert. Mir wäre persönlich die Aussicht auf einen hohen Gewinn lieber, als die Optimierung des schlechtesten Falls.

[kurth]

Hallo apfelbaum!

Ich fürchte halt, der Spielleiter wählt die Zahl so, daß man nicht zu viel gewinnt.
Immerhin: ein Mittelklassewagen ist es ja geworden.

Aber jedenfalls:
Ein Rätsel!

lg kurth

[Neuling]

Ich brauche mal etwas Nachhilfe bei dieser "Rahmengeschichte".

Mehr ->

Der mathematische Hintergrund und die von kurth vorgeschlagene Strategie sind einleuchtend. (Das Verkürzen der Abstände um jeweils eine Einheit, kenne ich aus einer ähnlichen Aufgabe.)

1) Was aber hat die "Halbzahl" für eine Bedeutung, die noch dazu vom Spielleiter willkürlich gewählt und nicht mal per Zugallsgenerator erstellt wird? Mit eine gestatteten Halbzahl 6,5 ist ein Gewinn so gut wie ausgeschlossen, falls nicht einer der Kandidaten diese Zahl nennt. ???

Anschließend müssen die Spieler erraten, welche Zahl der Master gewählt hat.

2) Hat der Spielmeister z.B. 9,5 eingegeben und der (inzwischen 2.) Kanditat steht auf Falltür 9 - hat er dann schon gewonnen? Wenn nein, betritt er nach kurth's Strategie die Falltür 10 und wäre aus dem Rennen? Oder muss er jetzt 9,5 sagen, um zu gewinnen?

Sie haben nur eine Tippmöglichkeit.

3) Was mir an dieser Rahmengeschichte nicht gefällt, ist, dass - mal gleiche Intelligenz der Kandidaten vorausgesetzt - ein Mindestgewinn gesichert wäre und der Spielleiter es in der Hand hätte, die Höhe des Gewinns "festzulegen".

Kurths Strategie funktioniert doch nur ohne einen Tipp abgeben zu müssen ?
Müsste der Kandidat die exakte Zahl nennen, ... ??

Edit: Hatte den Kommentar von Otmar übersehen. So wie er, habe ich die Aufgabe auch verstanden.
Sicher etwas "gewinnen" kann man nur,

Mehr ->

... wenn ein Spieler nacheinander die Falltüren 7, 8, ..., 42 betritt und sobald er durchgefallen ist, seine Falltürzahl um 0,5 verringert nennt.

Startet man auf einer beliebigen Falltür ( ≠ 7 ), dann hilft nur Mister Zufall. Ganz schlecht sieht es aus, wenn der erste Test, den man irgendwo in der Mitte beginnt, negativ ausfällt. Der zweite Kandidat kann dann nur noch raten und hoffen. Ist der erste mittige Test allerdings positiv, könnte man ab da in Einserschritten weiterziehen und hätte sich so alle "vorherigen" Teilungen des Gewinns erspart.

[kurth]

Hallo Neuling!

Da übersiehst du wohl was!

Mehr ->

Bei meiner Lösung wird die 6,5 natürlich auch gefunden!

Nach 14: Falltüre fällt:
Beginnt der zweite Spieler nun mit Falltüre 7 !
Fällt die Falltür nun noch einmal, darf man ja noch eine Zahl nennen.
Steht doch eindeutig in der Aufgabe!

Wenn die Zahl nun KLEINER ist , kann sie wohl nur mehr 6,5 sein.
Das gilt für ALLE Möglichkeiten.
Es sind nur maximal ACHT Versuche nötig.

Bei Otmars Lösung bekommst du , wenn du mit 7 beginnst und der Quizmaster z.B. die Zahl 42,5 nimmt , nur mehr den Bruchteil eines Cents!

(Du kennst vermutlich die Aufgabe mit dem Reiskorn , dem Schachbrett und der Verdoppelung)

lg kurth

[Neuling]

@ kurth - Danke, inzwischen ist mir alles klar.

Mehr ->

Mir war irgendwie entgangen, dass der zweite Spieler nach seinem Absturz noch einen Tipp abgeben darf. Damit hat das Spiel dann doch seinen Sinn, auch wenn der Spielmeister sicher die für die Kandidaten ungünstigste Variante wählen wird !?

Und nein, ich meine nicht die von dir genannte Aufgabe. Sollte ich meine finden oder aus dem Gedächtnis zusammentragen können, werde ich sie mal posten.

[Otmar]

Mehr ->

Wie würdest du mit deiner/deinem Partner/in spielen um 100 % einen Gewinn zu haben, und wie hoch wäre dann dein Gewinn??

Aus meiner Sicht fragt die Frage nicht nach dem, was apfelbaum2 gesucht hat, denn da ja Kurts Lösung die gesuchte Lösung war, sollte es wohl heißen:

Wie würdest du mit deiner/deinem Partner/in spielen um auch im ungünstigsten Fall einen möglichst hohen Gewinn zu haben?

oder ähnlich.

Eigentlich gibt es bei Kurts Lösung nicht "den" Gewinn. Denn bei seiner Strategie kommen 7 verschiedene Werte für den Gewinn in Frage. Jeder mit einer anderen Wahrscheinlichkeit. Ich habe bei meiner Lösung nun versucht, der Erwartungswert aus den möglichen Gewinnen zu optimieren, weil dass für mich am besten auf apfelbaum2s Fragestellung gepasst hat, natürlich unter der Nebenbedingung, dass überhaupt ein Gewinn gemacht wird.

Die Lösung zu meiner Interpretation der Fragestellung ist mindestens ebenso spannend, wie der Beweis, dass Kurts Lösung auf die eigentliche Frage, die einzig mögliche ist. (Bei anderen Falltürzahlen z.B. 7..41) würde es teilweise sehr viele gleichwertige Lösungen geben.) Werde meinen Lösungsweg aber erst mal für mich behalten und vielleicht ein neues Rätsel daraus machen.

[apfelbaum2]

Hallo Leute,
ja die Lösung von kurth ist die Richtige, an eine Lösung ala Otmar hätte ich im Nebel nicht gedacht... tja ist auch ein Ansatz. War wohl falsch definiert, die Frage...