Wenn man nach deinen Vorgaben mit der Bayessche Formel herangeht und für die beiden Scheckbeträge S1 und S2 setzt.
Um den Betrag B im roten Umschlag zu erzielen, gibt es zwei Möglichkeiten je nach der Anzahl von Wappenwürfen (x) bzw. (x + 1).
B = S1 x 3^(x +1)
B = S2 x 3^x
Die erwartete Wahrscheinlichkeit eines Münzwurfes z. B. Wappen beträgt p=0,5 bzw. bei mehrfachen Wappenwürfen hintereinander p(x) = 0,5^x .
Bei der Entscheidung für den roten oder den blauen Umschlag ist das einzige Kriterium, ob die Höhe des zu erwarteten Gewinnes E(B) größer ist als die des Gewinnes im roten Umschlag.
E(B) = p1 * S1 * 3^x + p2 * S2 * 3^(x+1)
Demnach setzt man E(B) mit Gewinn B im roten Umschlag gleich und löst nach dem Verhältnis S2/S1 die Gleichung auf.
S1 x 3^(x +1) = p1 * S1 * 3^x + p2 * S2 * 3^(x+1)
S1 * 3^(x+1) –- p1 * S1 * 3^x = p2 * S2 * 3^(x+1)
S1 * 3^x (3 – p1) = p2 * S2* 3^(x+1)
S1* 3^x (3 – p1)/p2* 3^(x+1) = S2
3^x (3 – p1)/ 3^x *3p2* = S2/S1
S2/S1 = (3 – p1)/ 3p2
Wobei :
p1 = p8/(p8+p9) => p1 = 1/3
p1 = p8/p8(1+p)
p1 = 1/(1+p)
p2 = p9/(p8+p9) => p2 = 2/3
p2 = p9/ p9(1/p+1)
p2 = p/(1+p)
S2/S1 = (3 – 1/(1+p))/ 3p/(1+p) => S2/S1 = (3 – 1/(1+0,5))/ 3*0,5/(1+0,5)
S2/S1 = 7/3Demnach nimmt der Spieler bei einem Scheckbetragsverhältnis größer
S2/S1 = 7/3 einen blauen Umschlag, ansonsten behält er den roten Umschlag.
@Otmar:
Frage C: Warum ist das Öffnen des roten Umschlags nötig, um die Gewinnerwartung zu
optimieren?
Die beiden Umschläge dürften auch gleichwertig sein, da in der Realität auch nur zwei Geldbeträge existieren. Bei o. a. fiktiven Berechnung ist eine zu erwartende Gewinnmaximierung, bei einer fiktiven unterschiedlichen Anzahl von Münzwürfen berücksichtigt.