Endrunde beim Doppelscheck

[Otmar]

@Zentimeter

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Das wird mehr, und zwar gewaltig.

Nun, das ist ja so verwunderlich nicht, denn immer, wenn die Wahrscheinlichkeit für einen Scheckbetrag halbiert wird, wird der Betrag selbst verdreifacht. D.h. das Produkt aus beiden wächst für jeden neuen Summanden um 50%. Und die Summe aus dem ganzen wäre die Gewinnerwartung im Mittel, wenn sie existieren würde. Wenn die Summe nicht existiert, also über jede Grenze wächst, dann ist der mittlere Gewinn bei vielen Fernsehshows nicht vorhersagbar, egal wie oft gespielt wird. Die Wahrscheinlichkeit für extrem hohe Beträge geht zwar gegen null, aber wenn sie eintreten, kann eine einzige Show einen Mittelwert, den man über sehr viele Fernsehshows bereits gebildet hat, signifikant vergrößern. Je öfter die Show gespielt wird, desto größer wird der Mittelwert in der Tendenz.

Da gibt es keine Rückversicherung für den Fall, dass dem Sender das Geld ausgeht... Aber das ist hier egal, Doppelscheck ist rein fiktiv.

Mal sehen ob ich noch etwas helfen kann

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Mal angenomen, Paul hat noch einen Zwillingsbruder Pit in einer zweiten Kabine und die Schecks werden dupliziert, jeweils im roten und blauen der gleiche Betrag. Der Shwomaster zeigt Paul den roten und Pit den blauen Scheck. Paul nimmt dann immer den blauen und Pit den roten. Jetzt erwartet Paul in jeder Show einen mittleren Gewinn gegenüber dem roten Scheck. Würden wir jetzt mal gedanklich sehr viele Shows spielen lassen, dann könnten wir diese Erwartung prüfen. Dazu muss man die Shows in Gruppen einteilen und zwar so, dass es für jeden Scheckbetrag im roten Scheck eine Gruppe gibt. Wenn wir jetzt nur die Shows herausnehmen, die zu eine Gruppe gehören, z.B. alle Shows bei denen 2700 Euro im roten Umschlag waren, dann werden wir in dieser Gruppe feststellen, dass Paul gegenüber Pit im Mittel ca. 11/9 mehr Geld gewonnen hat, vorausgesetzt es gibt genügend Shows in der Gruppe. Also in dieser Gruppe hat Pit immer 2700 Euro bekommen, da er ja den roten Umschlag nimmt, und Paul im Mittel 3300 Euro. Der Faktor von 11/9 gilt für jede Gruppe, außer für die Gruppe mit 100 Euro, da bekommt Paul sogar 3 mal mehr Geld als Pit. Genau so sagen es die berechneten Erwartungswerte mit offenem roten Umschlag voraus.

(Man das natürlich genau so für Pit darstellen, wenn wir die einzelnen Shows nach dem Inhalt im blauen Umschlag gruppieren würden. Die Gruppen fassen dann natürlich andere Shows zusammen, als oben. Aber diese "blaue" Gruppierung ist jetzt nicht wichtig.)

Der Erwartungswert für den Gewinn über alle Spiele ist für Paul oder Pit jetzt entweder derjenige den du oben berechnet hast, oder die Summe aus allen Erwartungswerten in der "roten" Gruppen mal die Wahrscheinlichkeit, dass eine Show zu so einer "roten" Gruppe gehört. Das sind zwei verschiedene Summenformeln, eine für Paul und eine für Pit. Die Summanden in Paul's Formel sind mindestens 1.22 mal größer, als die Summanden in Pit's Formel. Dennoch, es gibt keinen Widerspruch.

Hat's geholfen? Oder ist die Verwirrung nur noch größer?

[Zentimeter]

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Hm..
Ist der "Wert des Spiels" (also welchen Betrag sollte ich sinnvollerweise zahlen, um mitspielen zu können) eigentlich errechenbar?

Du schriebst:

> Und die Summe aus dem ganzen wäre die Gewinnerwartung im Mittel,
> wenn sie existieren würde. Wenn die Summe nicht existiert,
> also über jede Grenze wächst, dann ist der mittlere Gewinn
> bei vielen Fernsehshows nicht vorhersagbar, egal wie oft gespielt wird.

Aber auch:

> Der Erwartungswert für den Gewinn über alle Spiele ist für Paul oder Pit
> jetzt entweder derjenige den du oben berechnet hast,

Echt? Ich habe den errechnet? Aber nicht für alle Spiele. Meine Vermutung mit den 600 hatte ja nicht gestimmt...

[Otmar]

@Zentimeter

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Ist der "Wert des Spiels" (also welchen Betrag sollte ich sinnvollerweise zahlen, um mitspielen zu können) eigentlich errechenbar?

Das Spiel ist im wahrsten Sinne des Wortes unberechenbar. Ich hatte ja schon erwähnt, dass sich keine Rückversicherung für den Fall finden wird, die einspringt, wenn dem Sender das Geld ausgeht. Deshalb ist es rein fiktiv.

> Der Erwartungswert für den Gewinn über alle Spiele ist für Paul oder Pit
> jetzt entweder derjenige den du oben berechnet hast,

Echt? Ich habe den errechnet? Aber nicht für alle Spiele. Meine Vermutung mit den 600 hatte ja nicht gestimmt...

Na ja, ein bischen kann man schon rechnen, jedenfalls ob der Erwartungswert berechenbar ist. Deine Formel war ja richtig und auch die immer größer werdenden Summanden.

Vielleicht habe ich deine Aussage:

Das wird mehr, und zwar gewaltig.

schon etwas zu früh, als "im Prinzip" richtiges Ergebnis für den Erwartungswert gewertet.

[Zentimeter]

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Wenn wir jetzt nur die Shows herausnehmen, die zu eine Gruppe gehören, z.B. alle Shows bei denen 2700 Euro im roten Umschlag waren, dann werden wir in dieser Gruppe feststellen, dass Paul gegenüber Pit im Mittel ca. 11/9 mehr Geld gewonnen hat, vorausgesetzt es gibt genügend Shows in der Gruppe. Also in dieser Gruppe hat Pit immer 2700 Euro bekommen, da er ja den roten Umschlag nimmt, und Paul im Mittel 3300 Euro.

Ja, denn es gibt zwei unterschiedliche Möglichkeiten, 2700 Euro im roten Umschlag zu entdecken. Je nachdem ob der 100er oder der 300er Scheck der Ausgangsbetrag war.
Und wenn man diesen beiden Möglichkeiten den umgekehrten Umschlag entgegensetzt, kommt das 11/9-fache vom roten Umschlag heraus.
Soweit noch kein Widerspruch.

> Der Faktor von 11/9 gilt für jede Gruppe, außer für die Gruppe mit 100 Euro, da bekommt Paul sogar 3 mal mehr Geld als Pit.

Da dieser Fall Paul auch (bzw. erst recht) tauschen lässt, habe ich ihn nicht extra angesehen.

(Man das natürlich genau so für Pit darstellen, wenn wir die einzelnen Shows nach dem Inhalt im blauen Umschlag gruppieren würden. Die Gruppen fassen dann natürlich andere Shows zusammen, als oben. Aber diese "blaue" Gruppierung ist jetzt nicht wichtig.)

Ja, wenn man die blauen Umschläge nach deren Inhalt gruppieren würde, wären in den roten "Gegenumschlägen" jeweils auch das 11/9-fache davon. Aber diese "Gegenumschläge" würde man ja dann nicht zusammen in eine Gruppe packen, da sie unterschiedliche Beträge enthielten.

Der Erwartungswert für den Gewinn über alle Spiele ist für Paul oder Pit ... die Summe aus allen Erwartungswerten in der "roten" Gruppen mal die Wahrscheinlichkeit, dass eine Show zu so einer "roten" Gruppe gehört. Das sind zwei verschiedene Summenformeln, eine für Paul und eine für Pit. Die Summanden in Paul's Formel sind mindestens 1.22 mal größer, als die Summanden in Pit's Formel. Dennoch, es gibt keinen Widerspruch.

Und sich das nun bei unendlich vielen Summanden vorzustellen, da wirds schwierig...

[Otmar]

Und sich das nun bei unendlich vielen Summanden vorzustellen, da wirds schwierig...

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Falls wir zwei Summen mit der gleichen endlichen Anzahl von nummerierten Summanden hätten, und jeder Summand der ersten Summe kleiner ist, als der Summand mit gleicher Nummer aus der zweiten Summe, dann ist die erste Summe kleiner.

Das gleich gilt, wenn die Anzahl der Summanden unendlich ist, und die erste Summe existiert, also gegen einen bestimmten Wert konvergiert.
Z.B.

1/2    + 1/4     + 1/8      + 1/16 + ... = 1
1,22/2 + 1,22/4 + 1,22/8 + 1,22/16 + ... = 1,22

In so einem Fall hätten wir einen Widerspruch.

Es gibt aber bei unendlich vielen Summanden noch einen Sonderfall. Die kleinere Summe muss nicht konvergieren. D.h. sie könnte unendlich sein:

Z.B. 1 + 2 + 3 + 4 + .... = unendlich.

D.h. aber auch, dass keine andere Summe größer sein kann als die kleinere Summe.

[Zentimeter]

Wenn es dafür weniger Summanden sind?

Ist das Problem das, das es nunmal nicht ewig geht? Irgendwann würde jede Bank und jede Spielshow gesprengt ... bei realistischen Beträgen würde Paul wechseln, wenn der Betrag im roten Umschlag allerdings schon gigantisch hoch wäre lieber nicht mehr, in der Hoffnung, wenigstens diesen Betrag noch zu bekommen.

[Otmar]

Wenn es dafür weniger Summanden sind?

Weniger Summanden gehen nicht. Die Vorgehensweise ist exakt vorgegeben. Es muss notfalls sehr lange gespielt werden. Für den Erwartungswert müssen alle möglichen Fälle berücksichtigt werden. Auch die unwahrscheinlichen Fälle. Man kann ja davon ausgehen, dass sehr selten jemand 100 Mal hintereinander Wappen wirft.

Ist das Problem das, das es nunmal nicht ewig geht? Irgendwann würde jede Bank und jede Spielshow gesprengt ... bei realistischen Beträgen würde Paul wechseln, wenn der Betrag im roten Umschlag allerdings schon gigantisch hoch wäre lieber nicht mehr, in der Hoffnung, wenigstens diesen Betrag noch zu bekommen.

Nein, dass soll hier das Problem nicht sein. Die Show ist rein fiktiv. Die Wahrscheinlichkeit, dass unendlich viel Geld ausgespielt wird, ist Null.
In der realen Welt hättest du natürlich Recht, da der Sender nicht beliebig viel Geld hat. Aber dann hätte ich das in die Formulierung des Rätsels auch aufnehmen müssen.

[Zentimeter]

ok, es wäre auch nicht wirklich befriedigend wenn das die Lösung gewesen wäre.
Nur, ich komme nicht mehr weiter.
Es ist scheinbar ein Paradoxon...
Vielleicht gibt es ja jemand anderen, der sich da mal bissl hineinverbeissen will und dabei erfolgreicher ist als ich???

[Musagetes]

Hi Otmar,

@Zentimeter:
Vielleicht gibt es ja jemand anderen, der sich da mal bissl hineinverbeissen will und dabei erfolgreicher ist als ich???

..... dann will ich es noch mal versuchen.

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@Otmar:
also Frage B ist jetzt sauber geklärt, bis auf den Fall, dass Paul 100 Euro findet. Der Fall ist bisher immer unter den Tisch gefallen.

Diesen Fall hast du ja nun selbst geklärt. Hätte man eigentlich auch selbst drauf kommen können.

@Otmar:
Der Faktor von 11/9 gilt für jede Gruppe, außer für die Gruppe mit 100 Euro, da bekommt Paul sogar 3 mal mehr Geld als Pit.

In dem Fall ist klar, dass wenn man 100€ im roten Umschlag sieht, im blauen 300€ sein müssen.

Wie ich oben schon gezeigt habe, verdreifacht sicht der jeweilige Erwartungswert mit der Anzahl der Wappenwürfe (x), außer bei B=100€.

E(B) = p1 * S1 * 3^x + p2 * S2 * 3^(x+1)
E(B) = ½ *S1* 3^0 + ½*S2 * 3^0 =>200€
E(B) = 2/3*S1*3^0+1/3*S2* 3^1 =>366,66€
E(B) = 2/3*S1*3^1+1/3*S2* 3^2 =>1100€
E(B) = 2/3*S1*3^2+1/3*S2*3^3 =>3300€
E(B) = 2/3*S1*3^3+1/3*S2*3^4=>9900€

E(B) = 2/3*S1*3^8+1/3*S2*3^9=>2405700€

E(B) = p1 * S1 * 3^x + p2 * S2 * 3^(x+1)
E(B) = 3^x (p1 * S1 + p2 * S2 * 3) =>S2=3S1 =>
E(B) = 3^x (p1 * S1 + p2 * 3S1*3)
E(B) = 3^x (p1 * S1 + p2 * 9S1)
E(B) = 3^x * S1 (p1 + 9p2) bei p1 = 2/3 und p2 = 1/3 =>
E(B) = 3^x * S1 (2/3 + 9/3)
E(B) = 3^x * 11/3 S1 => SM = 11/3 S1

E(B) = 11S1 * 3^(x -1)

Daraus lässt sich nun nach der Gaußschen Summenformel die Summe aus allen Erwartungswerten bilden.

Summe E(B) = 11S1 * 3^[1+2+3+ … +(x -1)]
Summe E(B) = 11S1 * 3^x(x -1)/2

Summe E(B) = 11S1 * 3^[(x^2-x)/2]

So jetzt läuft mir die Zeit schon wieder weg!!

Heute an Valentin sollte das Ratio sowieso hinten anstehen und das Emotionale Raumgewinnen.

Gruß
Musagetes

[Otmar]

@Musagetes

Heute an Valentin sollte das Ratio sowieso hinten anstehen und das Emotionale Raumgewinnen.

Ja, beinah hätte ich den Anlass verpasst. Dein Wink kam gerade noch rechtzeitig, um den Abend zu retten

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Wie ich oben schon gezeigt habe, verdreifacht sicht der jeweilige Erwartungswert mit der Anzahl der Wappenwürfe (x), außer bei B=100€.

Das stimmt und ist ein Teil des Problems für den Sender...

Daraus lässt sich nun nach der Gaußschen Summenformel die Summe aus allen Erwartungswerten bilden.

Die Erwartungswerte müssen mit ihren Wahrscheinlichkeiten gewichtet addiert werden.
Du musst dir nicht so viel Mühe mit der Summe machen. Man kann ja sehr schnell sehen, was rauskommt, wenn unendlich viele dieser Summanden aufaddiert werden.

@Zentimeter

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Du stehst eigentlich nur "ein Zehntel" eines Zentimeters, vor der Lösung. Das Stück fehlende Mathematik hatte ich ja schon im letzten Tipp drin. Du musst nur noch die richtige Schlussfolgerung ziehen.