Endrunde beim Doppelscheck Rätsel ist gelöst

Rätsel, die zum Lösen einen größeren Zeitaufwand erfordern, wie z. B. schwierige Physik- und Matherätsel.

Endrunde beim Doppelscheck

Beitragvon Otmar » Montag 30. Januar 2012, 19:12

Paul und Pauline haben es als Spielerpaar in die Endrunde der spektakulären Doppelscheck TV Serie geschafft. Der Showmaster hat 2 Schecks vorbereitet, einen mit 100 Euro und einen zweiten mit 300 Euro. Paul wartet in der verschlossene Kabine bis Pauline mit der Erhöhung der Gewinnchancen fertig ist. Dazu erhält sie eine faire Münze und darf diese solange werfen, bis Zahl liegt. Bei jedem Wappenwurf, wird der Gewinnbetrag verdreifacht. Wirft sie z.B. dreimal Wappen und danach Zahl, dann wären die Scheckbeträge 2700 Euro und 8100 Euro. Wenn gleich der erste Wurf Zahl ist, bleiben die Scheckbeträge bei 100 und 300 Euro. Nachdem die Scheckbeträge fest stehen, werden die Schecks zufällig in einen roten und blauen Umschlag verpackt. Paul kennt, zwar die Spielregeln, aber er weiß nicht, wie oft Pauline Wappen geworfen hat. Der Showmaster geht in Pauls Kabine und öffnet den roten Umschlag. Ein Betrag von 1968300 Euro erscheint. Paul darf wählen, ob er diesen Scheck oder den im blauen Umschlag nimmt. Pauline hat Paul beauftragt, die Gewinnerwartung zu optimieren.

Frage A: Wie hoch ist der erwartete Gewinn, wenn er sich für den blauen Umschlag entscheidet?
Frage B: Welchen Umschlag hätte Paul bei anderen Beträgen auf dem gezeigten Scheck genommen?
Frage C: Warum ist das Öffnen des roten Umschlags nötig, um die Gewinnerwartung zu optimieren?

:choir:
Spoilersperre ist festgelegt - Spoiler sind geöffnet
Start: Montag 30. Januar 2012, 19:12
Ende: Dienstag 31. Januar 2012, 19:12
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Re: Endrunde beim Doppelscheck

Beitragvon Zentimeter » Montag 30. Januar 2012, 23:31

Basiert dieses Spiel auf irgendeinem realen Spiel oder ist es ein "Otmar-Special"? 8-)

Zur Frage A: Kann man die denn beantworten?
Entweder Pauline hat 8-mal hintereinander den 300er verdreifacht oder 9-mal hintereinander den 100er.
Also ist der Gewinn im anderen entweder 616100 oder 5904900.
Aber wenn das so wäre, hättest du wahrscheinlich die Frage nicht so gestellt... also fürchte ich, ich muss mir das Ganze morgen nochmal in Ruhe durchlesen! :)
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Re: Endrunde beim Doppelscheck

Beitragvon Abyssdiver » Dienstag 31. Januar 2012, 01:34

also es geht ja hier um bedingte wahrscheinlichkeit, naja jetzt muss man hier halt schauen wie hoch denn die wahrscheinlichkeit besteht 8mal wappen bzw 2mal wappen und dann zahl zu werfen und dann im verhältnis den gewinntbetrag zu betrachten,
beim zweiten und dritten geht das halt um das allgemeine, wenn ich mal zeit hab werd ich mal das ganze durchrechnen :)
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Re: Endrunde beim Doppelscheck

Beitragvon Otmar » Dienstag 31. Januar 2012, 18:16

Zentimeter hat geschrieben:Basiert dieses Spiel auf irgendeinem realen Spiel oder ist es ein "Otmar-Special"?

Definitiv nicht real, rein fiktiv! Die Situation ist speziell als Rätsel ausgewählt. Der Fernsehsender hat beliebig viel Geld. Die Idee ist nicht von mir aber mit dem "Special" liegst du richtig.

Zentimeter hat geschrieben:Zur Frage A: Kann man die denn beantworten?

Ja das geht. Als erwarteter Gewinn ist der Erwartungswert gemeint. Du hast ja schon 2 mögliche Beträge im blauen Umschlag B1 und B2 ermittelt. (Beim ersten ist noch ein Tippfehler drin.) Jetzt musst du dir überlegen, wie wahrscheinlich diese beiden Beträge sind und bezeichnest die Wahrscheinlichkeiten mit p1 und p2 wobei p1+p2 = 1. Dann ist der erwartete Gewinn E(B) = p1 * B1 + p2 * B2.

Bei der zweiten Frage machst du es genau so, nur dass du dann keine Zahlen für B1 und B1 hast, sondern B1 und B2 und auch E(B) durch den Betrag R im roten Umschlag ausdrückst.

Abyssdiver hat geschrieben:wenn ich mal zeit hab werd ich mal das ganze durchrechnen

Lohnt sich bestimmt, denn das Ergebnis ist verblüffend.
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Endrunde beim Doppelscheck

Beitragvon Zentimeter » Mittwoch 1. Februar 2012, 12:58

Auch wenn ich keine Ahnung hab, ob meine Überlegungen richtig sind, spoilere ich mal:
Mehr ->
Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass der 300er auf 1698300 Euro verdoppelt wurde, beträgt (1/2) hoch 8, das ist eine Wahrscheinlichkeit von 0,00390625.
Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass der 100er auf 1698300 Euro verdoppelt wurde, beträgt (1/2) hoch 9, das ist eine Wahrscheinlichkeit von 0,001953125.

Wir haben aber bereits die Situation, dass wir wissen, dass der rote Umschlag 1698300 Euro enthält.
Die Wahrscheinlichkeit, dass dies der (1/2) hoch 8 - mal verdreifachte 300er Scheck ist, ist doppelt so hoch, als wenn es der (1/2) hoch 9 - mal verdreifachte 100er Scheck wäre.
Dem müsste auch die Wahrscheinlichkeit des blauen Umschlags entsprechen, oder? Wenn ja, dann wären:

P(1) (im blauen Umschlag sind 656100 Euro) = 2/3
P(2) (im blauen Umschlag sind 5904900 Euro) = 1/3

Nach deiner Formel:
E(B) = p1 * B1 + p2 * B2

E(B1) = 2/3 * 656100 + 1/3 * 5904900 = 2405700
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Re: Endrunde beim Doppelscheck

Beitragvon Musagetes » Mittwoch 1. Februar 2012, 18:58

Hi Otmar,

bist du nun unter die Glückspieler gegangen?!

Hier kann man leicht, so manchen Glücksritter mit Wahrscheinlichkeiten verblüffen.

Ähnlich wie bei dem „klassischen Ziegenproblem“ (nicht die Grasende), was etwas schwerer zu verstehen ist.

Bei dieser Anfangskonstellation lässt man sich, durch die relativ hohe Anzahl von Wappenwürfen leicht ins Boxhorn jagen.

Mehr ->
M. E. könnte man die Spielsituation bzw. Gewinnberechnung auch erst vor dem letzten Wurf betrachten. Der dann mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,5 entscheidend ist.

Um einen Betrag von 1968300 Euro im roten Umschlag zu erzielen, gibt es zwei Möglichkeiten bei der Anzahl von (x)Würfen.


Scheck 100€: 100€ x 3^x = 1968300€ => x=9
Scheck 300€: 300€ x 3^x = 1968300€ =>x=8

Daraus folgt, dass der Betrag im blauen Umschlag nur die zwei folgenden Werte annehmen kann.

Scheck 100€: B(1) = 100€ x 3^8 = 656100€
Scheck 300€: B(2) = 300€ x 3^9 = 5904900€

Da wie oben ersichtlich der Mindest- sowie auch der Höchstbetrag bereits feststehen und ausgespielt sind war nur noch wie eingangs erwähnt, der letzte Wurf mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,5 relevant.

Das geht auch aus den Einzelwahrscheinlichkeiten hervor.

Wahrscheinlichkeit von P bei acht Wappenwürfen (x=8):
p8 = p(1)^8 p8= 0,5^8 = 0,00390625

Wahrscheinlichkeit von p bei neun Wappenwürfen (x=9):
p9 = p(1)^9 p9= 0,5^9 = 0,001953125

Somit ist für die Entscheidung m. E. nur der Mindest- und der Höchstbetrag bzw. die Einzelwahrscheinlichkeit p(1) bzw. p(2) relevant.

p(1) = p(2) = p9/p8 => p1 = 0,5

Einer Wahrscheinlichkeit von p1 = ½ steht einer Vervielfachung des Gewinns um das
Neunfache gegenüber. B2/B1 = 1968300€ /656100€ = 9

Wenn man nun die Beträge in die Formel eingibt.

E(B) = p1 * B1 + p2 * B2 => E(B) = 0,5 * 656100€ + 0,5 * 5904900€ 

Folgt ein erwarteter Gewinn E(B) = 3280500€

Wie sooft, stellt sich ein nicht erwartetes Ergebnis ein.

Ich hoffe, ihr konntet meinen Ausführungen folgen.

Und wie lt. die Moral von der Geschicht? Ruhig mal etwas gierig sein! ;-)

Gruß
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Re: Endrunde beim Doppelscheck

Beitragvon Otmar » Mittwoch 1. Februar 2012, 20:19

@Zentimeter:
Damit wäre Frage 1 schonmal richtig. :zustimm:

@Musagetes:
Mehr ->
Du brauchst noch eine kleine Änderung für die Bayessche Methode:
p1 = p8/(p8+p9) und p2 = p9/(p8+p9)

Ansonsten, wie immer sehr passende Kommentare. :gut:

Aber die erste Frage ist ja nur zum warmlaufen gedacht... Die zweite Frage sollte mit dem, was ihr bereits habt auch nicht so schwer zu beantworten sein. Aber richtig rätselhaft wird es erst, wenn nach richtiger Antwort auf Frage B über die dritte Frage nachgedacht wird. Die könnte man auch so stellen: Wie kann man das Ergebnis von Frage B damit vereinbaren, das der blaue und rote Umschlag vor dem Öffnen des roten bezüglich des zu erwartenden Gewinns gleichwertig sind.:gruebel:
Liebe Grüße, Otmar.
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Re: Endrunde beim Doppelscheck

Beitragvon Musagetes » Donnerstag 2. Februar 2012, 18:52

Hi Otmar,

um deine Frage B zu beantworten,

@Otmar:
Frage B: Welchen Umschlag hätte Paul bei anderen Beträgen auf dem gezeigten Scheck genommen?

lassen sich bei der gleichen Spielprocedure das mindest Verhältnis, für die die Auswahl der Umschläge (rot oder blau), der beiden Scheckbeträge errechnen.

Mehr ->
Wenn man nach deinen Vorgaben mit der Bayessche Formel herangeht und für die beiden Scheckbeträge S1 und S2 setzt.

Um den Betrag B im roten Umschlag zu erzielen, gibt es zwei Möglichkeiten je nach der Anzahl von Wappenwürfen (x) bzw. (x + 1).

B = S1 x 3^(x +1)
B = S2 x 3^x

Die erwartete Wahrscheinlichkeit eines Münzwurfes z. B. Wappen beträgt p=0,5 bzw. bei mehrfachen Wappenwürfen hintereinander p(x) = 0,5^x .

Bei der Entscheidung für den roten oder den blauen Umschlag ist das einzige Kriterium, ob die Höhe des zu erwarteten Gewinnes E(B) größer ist als die des Gewinnes im roten Umschlag.

E(B) = p1 * S1 * 3^x + p2 * S2 * 3^(x+1)

Demnach setzt man E(B) mit Gewinn B im roten Umschlag gleich und löst nach dem Verhältnis S2/S1 die Gleichung auf.

S1 x 3^(x +1) = p1 * S1 * 3^x + p2 * S2 * 3^(x+1)
S1 * 3^(x+1) –- p1 * S1 * 3^x = p2 * S2 * 3^(x+1)
S1 * 3^x (3 – p1) = p2 * S2* 3^(x+1)
S1* 3^x (3 – p1)/p2* 3^(x+1) = S2
3^x (3 – p1)/ 3^x *3p2* = S2/S1
S2/S1 = (3 – p1)/ 3p2

Wobei :
p1 = p8/(p8+p9) => p1 = 1/3
p1 = p8/p8(1+p)
p1 = 1/(1+p)

p2 = p9/(p8+p9) => p2 = 2/3
p2 = p9/ p9(1/p+1)
p2 = p/(1+p)

S2/S1 = (3 – 1/(1+p))/ 3p/(1+p) => S2/S1 = (3 – 1/(1+0,5))/ 3*0,5/(1+0,5)
S2/S1 = 7/3
Demnach nimmt der Spieler bei einem Scheckbetragsverhältnis größer
S2/S1 = 7/3 einen blauen Umschlag, ansonsten behält er den roten Umschlag.

@Otmar:
Frage C: Warum ist das Öffnen des roten Umschlags nötig, um die Gewinnerwartung zu
optimieren?

Die beiden Umschläge dürften auch gleichwertig sein, da in der Realität auch nur zwei Geldbeträge existieren. Bei o. a. fiktiven Berechnung ist eine zu erwartende Gewinnmaximierung, bei einer fiktiven unterschiedlichen Anzahl von Münzwürfen berücksichtigt.


Gruß
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Re: Endrunde beim Doppelscheck

Beitragvon Otmar » Donnerstag 2. Februar 2012, 20:06

Musagetes hat geschrieben:lassen sich bei der gleichen Spielprocedure das mindest Verhältnis, für die die Auswahl der Umschläge (rot oder blau), der beiden Scheckbeträge errechnen.

Ja, die Spielprozedur gibt dem Paul ein Vorwissen, auch a-priori Wahrscheinlichkeit genannt. Damit kann er für jeden Betrag im offenen roten Umschlag entscheiden, ob der blaue eine höhere Gewinnerwartung verspricht als im roten Umschlag ist oder nicht.

Ich glaube wir haben noch ein Missverständnis. Ich meinte nicht, dass am Anfang andere Beträge eingesetzt werden, sondern, dass Pauline anders geworfen hat oder beim Verpacken der Schecks andere Farben genommen wurden. Also Paul findet immer einen der Beträge

  100 * 3^k für k = 0, 1, 2,....  


im roten Umschlag, nur welcher von den möglichen Beträgen es ist, bleibt bei Frage B offen. Bitte den Fall 100 Euro nicht vergessen. Der ist etwas Besonderes, aber offensichtlich.
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Re: Endrunde beim Doppelscheck

Beitragvon Zentimeter » Samstag 4. Februar 2012, 00:58

Ich hab jetzt mal diese Formel gebastelt:

Mehr ->
P(B) = 1/2 hoch n * (300 * (3 hoch (n-1))) + 1/2 hoch (n+1) * (300 * (3 hoch n))

Haut leider nicht hin wenn ich durchrechne... aber kann im Moment nicht erkennen, wo der Fehler liegt!
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