Die verflixten Sieberianer

[MadMac]

Auf dem siebten Planeten im siebten System der siebten Galaxie des siebenundsieberianschen Nebels lebt das Volk der Sieberianer.

Diese bewohnen insgesamt sieben Städte, von denen jede mit jeder anderen durch eine eigene Straße verbunden ist - insgesamt sind es einundzwanzig Straßen, die sich in exakt sieben Kreuzungen schneiden - Brücken oder Tunnel gibt es im Straßenbau keine.

Die Sieberianer sind übrigens technisch hoch entwickelt, was man u.a. daran erkennen kann, daß ihre Autos keine Lenkung haben und nur geradeaus fahren können (jawoll, das IST ein technischer Fortschritt, auch wenn das der menschliche Geist - noch - nicht begreifen mag). Jedenfalls haben die Straßen der Sieberianer daher keine Kurven und gehen schnurgeradeaus. In den Städten fahren keine Autos sondern nur Pendelbusse.

Ich habe Euch mal wieder totalen Unfug erzählt, oder etwa nicht?
Wenn es das Straßennetz der Sieberianer so nicht geben kann, begründet, warum. Wenn doch, beschreibt mir ein (möglichst einfaches) Beispiel.

Um Euch komplett in die Irre zu führen, habe ich hier zum Vergleich das Straßennetz der mit den Sieberianern verfeindeten Fünfoden grob skizziert:

1158915861_f_nfoden.PNG (4.94 KiB) 1185-mal betrachtet

Um die Interpretationslücken gleich vorab zu schließen:
Keine der Straßen geht durch eine andere Stadt durch. Brücken, Tunnel etc. (anstelle einer Kreuzung) gibt es nicht.
Und ein kleiner Tipp: Sieberien ist das Land der möglichen Unmöglichkeiten. Denkt nach. Ich würde das nicht als "Harte Nuss" einstellen, wenn es eine 0-8/15 Lösung oder Argumentation gäbe.

[Friedel]

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Eins ist klar: Auf dem Planet der Sieberianer, der leider wohl keinen Namen hat, liegen keine 3 Städte auf einer Geraden. Wenn jede Stadt mit jeder anderen durch eine gerade Straße verbunden ist und keine Verbindungsstraße durch eine andere Stadt geht, muss das so sein.

Aber eins ist mir nicht klar. Der Planet der Fünfoden scheint zweidimensional zu sein. Ist der Planet der Sieberianer auch zweidimensional?

[Friedel]

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OK, eigentlich ist das keine Unklarheit. Da die Straßen alle geradlinig sind und es keine Tunnel gibt, muss der Planet zumindest in dem Bereich wo die Städte liegen, völllig eben sein.

Natürlich hast du mal wieder totalen Unfug erzählt.

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Es gibt weder Sieberianer noch den Planeten mit den 7 Städten und dem beschriebenen Straßennetz. Da das eine "0-8/15 Lösung oder Argumentation" ist, hast du auch in diesem Teil Unsinn erzählt.

Aber wenn es so einen Planeten gäbe, würde die Zahl der Verbindungsstraßen stimmen. Da keine 3 Städte auf einer Geraden liegen können, muss es von jeder Stadt zu jeder anderen eine eigene Verbindungsstraße geben. Das sind 21 Straßen.
Die maximale Anzahl von Kreuzungen ergibt sich, wenn die Städte die Eckpunkte zu einem konvexen 7-Eck bilden. Dann gibt es von jeder Stadt 2 Straßen ohne Kreuzungen (Die Außenlinien des 7-Ecks), 2 Straßen mit je maximal 4 Kreuzungen und 2 Straßen mit je maximal 6 Kreuzungen. Dabei können Kreuzungen zusammen fallen, wenn sich mehr als 2 Straßen in einem Punkt treffen. Aber selbst wenn es möglich wäre, dass alle 4 bzw 6 Kreuzungen einer Straße auf einen Punkt zusammen fallen, wären es immer noch mindestens 14 Kreuzungen insgesamt. Es ist also nicht möglich so ein Straßennetz zu erzeugen.

[MadMac]

@Friedel:

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Ich zähle bei Dir
- eine Voraussetzung, die man so nicht aus der Aufgabenstellung ziehen kann (auch wenn Du sie scheinbar mit meiner vollkommen ungeometrischen Formulierung geometrisch "belegst").
- eine falsche Voraussetzung, die Du für so selbstverständlich hältst, dass Du sie nicht einmal hinschreibst.
Mindestens eine beider Annahmen musst Du von Bord werfen, um eine Lösung finden zu können.

Aber immerhin hast Du einen (nach meinen Ermittlungen notwendigen) Kniff gefunden, nämlich was die Anzahl Straßen an einer Kreuzung anbelangt.

Und vergiss das Beispiel der Fünfoden. Das ist bewusst so ausgelegt, dass es nur in die Irre führen kann. Alle, wirklich alle Details des Bildes sind boshafterweise irreführend und lenken ab von den notwendigen oder zielführenden Kniffen.

Gruß,
MadMac

[Enigmemulo]

Ich versuche mal, Annahmen zu treffen, die einigermaßen vernünftig sind und die trotzdem zu einer Lösung führen:

1. Der Planet ist eine Kugel und Straßen nur auf seiner Oberfläche.
2. "schnurgerade" kann demnach nicht bedeuten, dass Straßen Strecken im mathematischen Sinne sind, ich mache sie mal zu kürzesten Verbindungen von A nach B auf der Oberfläche.

Jetzt gibt es eine Lösung, die ich hoffentlich verständlich beschreibe...

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Nimm die Pole und 4 gleichmäßig auf dem Äquator verteilte Punkte. Diese 6 Punkte bilden einen Oktaeder und sind auch so miteinander verbunden, bisher haben wir 12 Straßen und keine Kreuzung. Um besser erklären zu können, nenne ich die Oktaederkanten im Folgenden blau.

Es fehlt noch der siebte Punkt. Dieser wird in irgendeine der Flächen gepackt und durch rote Straßen mit allen anderen Städten verbunden. Es ergeben sich 6 neue Straßen und 3 Kreuzungen zwischen roten und blauen Straßen, rote Straßen kreuzen sich nicht gegenseitig.

Jetzt fehlen nur noch drei (grüne) Straßen, die jeweils die gegenüberliegenden Punkte des Oktaeders verbinden. Da die Punkte sich genau gegenüber liegen, sind deren Verbindungen Halbkreise, die recht beliebig verlaufen dürfen, nur nicht auf den blauen Straßen, da sonst auch eine weitere Stadt darauf liegen würde. Es ist unvermeidlich, dass drei Kreuzungen zwischen blauen und grünen Straßen entstehen.

Nun sind alle Straßen da und es darf noch genau eine weitere Kreuzung zwischen roten und grünen Straßen geben und das ist auch möglich, wenn man eine rote und zwei grüne Straßen in einem Punkt kreuzt. Dass das wirklich geht, kann wohl kaum einer im Kopf nachvollziehen, wer es aber auf einer Kugel oder einem Oktaeder nach der Beschreibung aufzeichnet, sieht es.

[MadMac]

Die richtigen Voraussetzungen zu definieren ist schon Teil der Lösung, also bitte in den Spoiler.

@Enigmemulo

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Stimmt soweit. Einfacher ist die Vorstellung, dass die drei Grünen Straßen sich gegenüber der 7. Stadt kreuzen. Bis auf dieses Detail (und, dass bei mir die 7. Stadt und diese Kreuzung auf den beiden Polen liegen) ist Deine Lösung mit einer meiner Musterlösungen identisch.

Damit alle anderen noch was zu rätseln haben: Nehmen wir mal an Enigmemulo irrt sich und Sieberien ist trotz wissenschaftlihcen Fortschritts eine Scheibe (selbstverständlich ist nur eine Seite dieser total flachen Scheibe bewohnt).

Ich behaupte es gibt eine Lösung. Richtig oder falsch?

[Otmar]

Mal ein Versuch in der Ebene:

Mir reichen

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im ersten Anlauf sechs Kreuzungen. Man kann aber sehr einfach eine siebte Kreuzung hinzumachen.

sieben_staedte_lsg.png (464.92 KiB) 1034-mal betrachtet

Städte sind schwarz, Straßen sind blau. Die Pendelbuslinien habe ich nicht eingezeichnet. Man sieht gut, dass die Städte mal einen Altstadtkern hatten und dann für Zugereiste erweitert wurden.

Also "richtig".

Schönes Rätsel!

[Musagetes]

Hallo Mad Mac,

nun ist ja schon wieder eine Harte Nuss zu knacken,
bin auf einer Süd Frankreich Rundreise,
wo ich noch nicht einmal die Zeit hatte,
die Lösung von Otmars Harte Nuss einzustellen.

Ein Interessantes Problem, das so klar ist wie eine Glaskugel,

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Die „Kugelform“ war klar. Aber zu deiner „neuen“ Frage,
ob du uns zu deiner zweidimensionalen Variante,
einen Schmarrn erzählt hast, bin ich gespannt?!

Die erste Frage; wie viele Straßen werden für alle Ortverbindungen benötigt?

Das Straßennetz mit der Anzahl von (n) Orten, kann als ein Vieleck beschrieben werden.
In diesem Siebeneck gehen von dem ersten Ort (n-1) Straßen weg, von dem
zweiten Ort gehen (n-2) Straßen weg, …. und sofort!

Demzufolge gibt es für die Straßenanzahl (A).

A = (n-1) + (n-2) + (n-3) + (n-4) + (n-5) + (n-6)  A = n(n-1)/2 A= (n^2-n)/2 A=21

Somit ist die erste Aussage mit den 21 Straßen koorekt.

Kommen wir nun zu den Kreuzungen bzw. Straßenschnittpunkten (1,2,3,…)

Würde es sich bei diesem Polygon um ein konvexes Vieleck, ähnlich dem der Fünfoden, bzw. um ein
regelmäßiges Vieleck; also ein Heptagon handeln.

Dann würden sich die Anzahl der Schnittpunkte der Diagonalen wie folgt ermitteln.

Dp = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)/24  Dp = 35

Diese Darstellung wäre nicht Zielführend. Deshalb muss man sich von diesem konvexen Polygon trennen.
Daher habe ich einfach am Strand durch etwas probieren im Sand gemalt und bin zu folgender Darstellung gelangt.

Siebeneck7.jpg (504.97 KiB) 1033-mal betrachtet

Somit schneiden sie von den 21 Straßen zehn überhaupt nicht, fünf Straßen jeweils einmal, vier jeweils zweimal und
zwei jeweils dreimal.
Daraus ergeben sich insgesamt neun Straßen Schnittpunkte.

Liebe Grüße
Musagetes

[MadMac]

@Otmar:

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Bitte noch etwas "verformen" damit auch die Pendelbusse nur geradeaus fahren müssen. Das stand zwar nicht in der Aufgabenstellung, aber es geht garantiert bei Deiner Lösung. Damit => richtig!

@Musagetes:

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Ich bin der festen Auffassung (ohne dass ich es jemals bewiesen hätte), dass Dein Ansatz nicht funktionieren wird.

Gruß,
MadMac

[MadMac]

P.S.:

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Entscheidend ist die Erkenntnis, dass eine Kreuzung nicht nur aus einem Punkt bestehen muss. Außerdem ist die Kugelform ein Detail, das zu einer möglichen Lösung führt (siehe Enigemulo) oder aber die Abkehr von der reinen Lehre der Geometrie, in der man nur Punkte miteinander verbindet. Städte sind keine Punkte sondern haben eine Ausdehnung. Damit können sich auch zwei Straßen, die von einer Stadt abgehen, kreuzen.

Meine Musterlösungen sind die von Enigmemulo (mit geringer Abweichung) und ähnlich der von Otmar in etwa kreisförmige Städte unterschiedlicher Größe, von denen sechs etwa ein Sechseck bilden, dessen Schnittpunkte auf 7 optimiert sind. Die 7. Stadt (möglicherweise die Hauptstadt? liegt außerhalb und kann alleine durch ihre größere ausdehnung jede andere Stadt kreuzungsfrei erreichen.

Gruß,
MadMac