13a²=b²-1=(b+1)(b-1). Wenigstens einer der Terme b+1 oder b-1 ist also ein Vielfaches von 13. Also entweder b+1=13x oder b-1=13x.
D.h.: 13a²=13x(13x±2) oder
Die eingerahmte Gleichung muss natürlich auch
modulo 4 gelten. Dann kann man schreiben:
a²=x(x+2), weil 13=1 und -2=2 modulo 4 ist. a² ist dann entweder 0 oder 1 und für
x=0, 1, 2, 3 ist x(x+2)=0, 3, 0, 3.
D.h.
x ist (jetzt nicht nur modulo 4, sondern überhaupt)
eine gerade Zahl.
Eine weitere Vereinfachung bringt die eingerahmte Gleichung
modulo 9.
Dann gilt, wenn man als Repräsentanten der Restklassen die neun ganzen Zahlen von -4 bis +4 wählt:
a²=x(13x±2)=x(4x±2)=2x(2x±1)=y(y±1)=y²±y mit y=2x, (alles modulo 9)
a oder y a² y²+y y²-y
0 0 0 0
1 1 2 0
2 4 -3 2
3 0 3 -3
4 -2 2 3
Von der Spalte unter a² ist nur der Wert 0 in den letzten beiden Spalten wiederzufinden. Deshalb ist y modulo 9 gleich 0, -1 oder +1, wobei y=-1 nur für das + in der eingerahmten Gleichung möglich ist und y=+1 nur für das - der eingerahmten Gleichung.
y= 0=2x ---> x= 0
y=-1=2x ---> x= 4 wegen 2*4-9=-1
y= 1=2x ---> x=-4 wegen 2*(-4)+9=1
Da x als ganze Zahl gerade ist, ist x nach der modulo 9 Rechnung als ganze Zahl beschränkt auf
x=18k-4 für -
x=18k für ±
x=18k+4 für +
Ferner kann ein Primfaktor p>2 nicht in ungerader Anzahl in x vorkommen, da 13x±2 nicht durch p teilbar ist und a² dann diesen Primfaktor in ungerader Anzahl enthalten würde, was nicht möglich ist. Das sei die Ausschlussbedingungn (###).
x a²=x(13x+2) a²=x(13x-2)
14=2*7 (###)
18=9*2 9*2*2*(13*9+1)=9*4*118 9*2*2*(13*9-1)=9*4*116 falsch, da weder 118 noch 116 eine Quadratzahl
22=2*11 (###)
32=16*2 gilt hier nicht 16*2*2(13*16-1)=8²*207 falsch, da 207 keine Quadratzahl
36=6² 6²(13*36+2)=6²*470 6²*464 falsch, da weder 470 noch 464 eine Quadratzahl
40=5*8 (###)
50=5²*2 gilt hier nicht 5²*2*2(13*25-1)=5²*2²*324=(5*2*18)² kleinste mögliche Lösung.
D.h. a=180 und in Haralds Armee waren 13*180²+1=
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