Das Hutspiel

[black]

Auf einem Kindergeburtstag erklärt die Mutter den 10 Kindern ein Spiel (Spoiler, da recht lang):

Mehr ->

"Ihr stellt euch nachher hintereinander in einer Reihe auf.
(Die Reihenfolge wird noch irgendwie ausgewürfelt.)

Dann frage ich eine(n) von euch nach einer natürlichen Zahl von 1 bis 5.
Diese nennen wir Z. Ihr wisst alle, wen ich frage, aber kennt seine/ihre Antwort nicht.

Danach setzte ich jedem von euch einen roten oder blauen Hut auf.
Dazu würfele ich für jeden eine Zahl zw. 1-6 (idealer Würfel).
Ist diese kleiner oder gleich Z wähle ich einen roten, sonst einen blauen Hut.

Ihr kennt weder die gewürfelte Zahl noch die Farbe eures Hutes sowie der eurer
Hintermänner. Nur die vor euch seht ihr.

Wenn alle einen Hut aufhaben, sagt ihr der Reihe nach beginnend mit dem
hintersten Kind laut, welche Hutfarbe ihr jeweils glaubt aufzuhaben.

Danach erfolgt die Auflösung und jeder, der seine Hutfarbe richtig erraten hat, bekommt ein kleines Geschenk."

Dann beraten sich die sehr cleveren Kinder und kommen neben ihrer Spielstrategie
zu folgender Übereinkunft:

1) Der Spieler, welcher nach Z gefragt wird, nennt, falls mehrere Zahlen für ihn in Frage kommen, die kleinste.
2) Jeder Spieler maximiert erst einmal die eigene Gewinnchance.
3) Falls es seine eigene Chance nicht mindert, versucht er auch die der anderen zu vergrößern.

Dann beginnt das Spiel.

Welche Zahl Z wird genannt und wie vielen Kinder gewinnen wahrscheinlich, wenn die Mutter das 1. (A), das 5. (B) bzw. das 10. (C) Kind (gezählt wird ab dem vordersten) anfangs nach Z fragt und anschließen das Spiel durchführt?

(Erläuterung: Sie fragt nur ein Kind. A-C sind unterschiedliche Fälle.)

[black]

Irgendwelche Fragen oder steht ihr alle auf Kriegsfuß mit der Spieletheorie?

[kurth]

Hallo Black!

Irgendwie verstehe ich die Aufgabe wohl nicht richtig.

Mehr ->

Nach meinem Verständnis können sie nur die Zahl 1 nehmen.
Dann sagt jedes Kind :"Ich habe einen blauen Hut auf".

Jede andere Möglichkeit schließt m.M. nach Punkt 2 aus.
Die Gewinnchance liegt dann bei 5/6.

Aber das ist wohl nicht die (gewünschte) Lösung.

lg
kurth

[black]

Das ist in einem der drei Fälle (A-C) die korrekte Lösung.

Mehr ->

Aber in den zwei anderen Fällen wird sie eine andere Antwort erhalten, welche durch Punkt 2 nicht ausgeschlossen, sondern sogar notwendig ist.

[black]

Na gut, ein :

Mehr ->

Wenn die Spieler allein 'Opfer' des Zufalls wären, hätte Kurth Recht.
Doch bedenkt, dass sie vor und im Spiel viele Informationen erhalten, durch deren geschickte
Nutzung sie ihre Gewinnchancen ggf. verbessern können, vor allem, da sie ja vor dem Spiel
ihre Strategie besprechen und o.g. Übereinkünfte treffen konnten.

[Musagetes]

Hi Black,

glaub ich habe wieder mal nichts kapiert, kann dich aber im Moment auch schlecht fragen , möchte aber dennoch auf die schnelle einen Lösungsversuch hinterlassen.

Mehr ->

Wenn man bei der Verabredung bleibt, dass die Zahl Z eine „Eins“ ist, was wohl auch am sinnvollsten ist, gehe ich davon aus, dass es auf eine sukzessive Optimierungsstrategie hinaus läuft.

Nach dem Kurth sich ja schon mal an einer Methodik versucht hat, (Dann sagt jedes Kind "Ich habe einen blauen Hut auf“. Die Gewinnchance liegt dann bei 5/6) die nach deiner Aussage einen Fall von A-C abdeckt, bezeichne ich diese Mal als „Zufallsmethodik“ einer statistischen Verteilung.
Diese ist dann heranzuziehen, wenn die tatsächliche Verteilung unter der der Wahrscheinlichkeitsrechnung liegt.
Also folglich, relativ wenig Einsen gewürfelt bzw. viele blaue Hüte zu erwarten sind.

Da man aber bei dieser Spielstrategie eben nicht „Opfer des Zufalls“ ist, da ja hier die hinteren Kinder der Reihe wissender sind als Ihre Vorgänger, gibt es hier eine exakte
„Wahre-Methode“, die annähernd der tatsächlichen Verteilung entspricht.
Diese funktioniert z. B. dadurch, dass das hintere Kind grundsätzlich die Hutfarbe des Vorgängers benennt, außer wenn für die eigene Hutfarbe „Rot“ benannt wurde, da sagt das Kind, natürlich seine eigene die rote Hutfarbe. Das nächste Kind benennt wieder die Farbe seines Vorgängers und sofort.
Diese Methodik ist dann heranzuziehen, wenn die tatsächliche Verteilung gleich oder über der der Wahrscheinlichkeitsrechnung liegt.
Also folglich, relativ wenig blaue Hüte, bzw. viele rote Hüte zu erwarten sind.

Daraus folgt, dass die optimierte Methode eine Kombination aus den beiden o. g.
Methoden ist.
Jedes Kind berechnet für eine absehbar vor ihm liegende Teilsequenz die tatsächliche Verteilung aus und vergleicht diese mit der der Wahrscheinlichkeitsrechnung 1/6 bzw. 5/6.
Jedes Kind entscheidet dann, welche der beiden Methoden zur Optimierung heranzuziehen ist.

Ich hoffe, dass ich das einiger maßen verständlich darlegen und Ihr meinen Ausführungen folgen konntet?

Grüße
Musagetes

[black]

Das funktioniert leider nicht :

Mehr ->

Zur Idee der "tatsächlichen Verteilung":

Wie in der Aufgabe beschrieben, handelt es sich um einen idealen Würfel, der 10mal nacheinander geworfen wird.
Er hat also empirisch keine Abweichungen und die einzelnen 10 Ergebnisse sind statistisch unabhängig.

Natürlich kann die Farbverteilung der Vorderleute von der empirisch zu erwartenden abweichen, das allein lässt aber für den eigenen Hut keine statistischen Rückschlüsse zu, um damit eine höhere Trefferwahrscheinlichkeit zu erzielen.

Daher würde jeder weiterhin die aus einem Würfelwurf am wahrscheinlichsten resultierende Farbe nennen
(Eigenwohl vor Allgemeinwohl), sofern er nicht doch noch Informationen nutzen kann.

Aber dein Vorschlag enthält eine Idee in die richtige Richtung ( ):

Mehr ->

Es muss versucht werden, Informationen weiter zu geben.
(Das kann allerdings nur unter Einhaltung der im Anfangsposting genannten Übereinkünfte geschehen.)

[kurth]

Halo Black!

Eine Frage ist:

Mehr ->

Sagen die Kinder nur die Farbe?
Sonst ließe sich leicht durch verschiedene Antworten die Farbe des Vordermannes verraten.

Z.B.: Die Farbe des Vordermannes ist rot, dann sagt man:" Ich glaube, ich habe blau."
oder die Farbe des Vordermannes ist blau, dann sagt man z.B: "Ich denke, ich habe blau."

Oder so ähnlich.

Das ist es aber ziemlich sicher nicht.
Sonst bräuchte man ja A, B, C nicht.

Aber vielleicht bringt es wen auf die richtige Idee!

kurth

[black]

Oh, ein berechtigter Einwand. Hab ich vergessen auszuschließen.
Nein, die Kinder sagen nur "rot" oder "blau". Es wird keine weitere Information über Betonung, Stimmhöhe o.ä. übermittelt.

Noch ein :

Mehr ->

Überlegt doch mal für, in welchem der 3 Fälle Kurths Lsg. (Z=1) sinnvoll ist und warum?
Vll. hab ihr dann eine Idee, warum in den anderen 2 Fällen jene Zahl nicht genannt wird.

[Musagetes]

Hi Black,

ich wusste doch, dass ich nichts kapiert habe!

Wenn ich ehrlich bin, habe ich es immer noch nicht kapiert, was es mit den einzelnen Fällen A-C auf sich hat und warum dass diese von Nöten sind.
Bin bis dato auch von einem einzelnen Spiel mit einer unbestimmten Anzahl von Kindern ausgegangen. Bei der Spieltheorie, statistischen Verteilung bzw. der Wahrscheinlichkeitsrechnung rechnet man grundsätzlich mit den „Großenzahlen“.
Hierbei treten in den einzelnen Teilsequenzen Kumulierungen (Häufungen) auf, die sich auch mit einem „idealen Würfel“ vereinbaren und die man mit der o. g. Methodik optimieren kann.
Die Kinder können sich ja auch auf die gerechte Verteilung der Geschenke auf alle Kinder verständigen.
Schließe natürlich auch solche „Kindereien“ wie die Weitergabe anderer verbalen Informationen außer einer Farbe zu benennen; bzw. dass sich die Kinder, insbesondere das Kind das die Zahl „Z“ benennen darf, aus Eigennutz sich nicht an die vereinbarten Verabredungen halten.

Aber, wenn alles so „ideal verteilt“ ist, dann könnte auch eine "einfache Lösung" in frage kommen.

Mehr ->

Wenn man bei den o. g. Verabredungen bleibt, dann müssen bei zehn Kindern bzw. zehnmaligen Würfeln, bei einer „idealen Verteilung“ zwei mal eine „Eins“ die Zahl „Z“ gewürfelt werden.
Demzufolge kann das zehnte Kind, beim überblicken seiner Vorgänger, exakt bestimmen, welche Farbe der eigene Hut hat.
Wenn z. B. bei den Kindern davor, nur ein roter Hut vorkommt, dann muss es selbst den zweiten roten Hut haben. Wenn bei den Kindern davor, zwei rote Hüte vorkommen, dann muss es einen blauen Hut auf haben.
Somit kann jedes weitere Kind exakt seine eigene Hutfarbe bestimmen.

Grüße
Musagetes