4 Ton Tonleiter

[Otmar]

Ein Mathematiker sucht zum Musizieren eine Tonleiter mit vier Tönen. Die vier Töne liegen innerhalb einer Oktave. Genauer gesagt, die Frequenz der vier Grundtöne ist mindestens 450 Hertz aber kleiner als 900 Hertz. Nun macht sich der Mathematiker Gedanken über die Obertöne, also ganzzahlige Vielfache, der Grundtöne. Da er schlecht hört, ignoriert er alle Obertöne, die eine höhere Frequenz als 4500 Hertz haben. Von den verbleibenden Obertönen wünscht er:

- Damit alles harmonisch klingt, sollen je zwei beliebige ausgewählte Grundtöne mindestens einen gemeinsamen Oberton haben.
- Die Anzahl der gemeinsamen Obertöne, gezählt über alle Paare von zwei Grundtönen, soll maximal sein.

Beispiel:
Grundtöne: 455 Hz; 546 Hz; 682,5 Hz und 819 Hz

455 Hz und 546 Hz haben den Oberton 2730 Hz gemeinsam.
455 Hz und 682,5 Hz haben die Obertöne 1365 Hz, 2730 Hz und 4095 Hz gemeinsam.
455 Hz und 819 Hz haben den Oberton 4095 Hz gemeinsam.
546 Hz und 682,5 Hz haben den Oberton 2730 Hz gemeinsam.
546 Hz und 819 Hz haben die Obertöne 1638 Hz und 3276 Hz gemeinsam.
682,5 Hz und 819 Hz haben den Oberton 4095 Hz gemeinsam.

Die Anzahl der gemeinsamen Obertöne, gezählt über alle Paare von zwei Grundtönen, ist diesem Beispiel 9.

Wer findet die Frequenzen der vier Grundtöne für die Tonleiter des Mathematikers?

[Friedel]

Hallo,
ich möchte nur mal Feedback geben. Ich fand die Aufgabe sehr interessant. Sie hat bei mir zu vielen interessanten Überlegungen geführt, die aber alle nicht zu einem Lösungsansatz geführt haben. Allerdings ahtte ich auch nicht wirklich Zeit, um mich damit intensiv (genug) zu befassen.

mfg Friedel

[Otmar]

Hallo Friedel,
danke für dein Feedback. M.E. braucht man für das Rätsel etwas Zeit (deshalb hab ich es hier eingestellt) und auch ein wenig Geduld, wenn man es ohne Computer lösen will. Eine elegante Lösung kann ich nicht liefern. Aber etwas Kopfrechnen könnte vor nachlassender Gedächtnisfunktion beim Älterwerden schützen.

Mehr ->

Sollte der niedrigste Grundton G größer als 450Hz sein, dann verringert sich die die Zahl gemeinsamer Obertöne nicht, wenn alle Töne mit dem Faktor 450Hz/G multipliziert werden. Auch sonst werden durch die Multiplikation keine Bedingungen der Tonleiter verletzt. D.h. man kann den niedrigsten Grundton mit 450Hz ansetzen und alle Töne in Vielfachen dieses Grundtones angeben. (Diese Vielfache sind nicht ganzzahlig, sondern Brüche.)

Da alle Töne wenigstens einen Oberton mit dem niedrigsten Grundton gemeinsam haben, kann man die Zahl der weiteren in Frage kommenden Töne auf 15 reduzieren. Dann beginnt etwas Fleißarbeit.

[Musagetes]

Hallo Otmar,

jetzt entführst du uns auch noch in die Welt des Musizierens.
In der Schule war ich im Fach Musik schon ein hilfloser Dilettant.

Dennoch habe ich mal meine Flöte hervorgeholt
und habe mich an einigen Tonleitern versucht.

Mehr ->

Ich bin mit mehreren Versuchen,
nicht über das Maximum von zwölf
Obertönen je Tonleiter hinausgekommen.

Dann wünsche ich noch viel Spaß beim Musizieren!

Liebe Grüße
Musagetes

[Otmar]

Hallo Musagetes,
du kannst ja mal die von dir gefundenen Töne angeben. Dann könnte ich nachzählen und mit meiner Lösung vergleichen. Ansonsten viel Spaß mit der Flöte.

[Musagetes]

Hi Otmar,

so nun habe ich meine Töne wieder gefunden.

Ich hoffe, dass ich auch die richtigen Töne getroffen habe.

Mehr ->

Grundtöne: 450 Hz; 562,5 Hz; 675 Hz und 900 Hz

450 Hz und 562,5 Hz haben die Obertöne 2250 Hz und 4500 Hz gemeinsam.
450 Hz und 675 Hz haben die Obertöne 1350 Hz, 2700 Hz und 4050 Hz gemeinsam.
450 Hz und 900 Hz haben die Obertöne 1800 Hz, 2700 Hz, 3600 Hz und 4500 Hz gemeinsam.
562,5 Hz und 675 Hz haben den Oberton 3375 Hz gemeinsam.
562,5 Hz und 900 Hz haben den Oberton 4500 Hz gemeinsam.
675 Hz und 900 Hz haben den Oberton 2700 Hz gemeinsam.

Die Anzahl der gemeinsamen Obertöne, gezählt über alle Paare von zwei Grundtönen, wäre 12.


Grundtöne: 450 Hz; 500 Hz; 750 Hz und 900 Hz

450 Hz und 500 Hz haben den Oberton 4500 Hz gemeinsam.
450 Hz und 750 Hz haben die Obertöne 4500 Hz und 2250 Hz gemeinsam.
450 Hz und 900 Hz haben die Obertöne 1800 Hz, 2700 Hz, 3600 Hz und 4500 Hz gemeinsam.
500 Hz und 750 Hz haben die Obertöne 1500 Hz, 3000 Hz und 4500 Hz gemeinsam.
500 Hz und 900 Hz haben den Oberton 4500 Hz gemeinsam.
750 Hz und 900 Hz haben den Oberton 4500 Hz gemeinsam.

Die Anzahl der gemeinsamen Obertöne, gezählt über alle Paare von zwei Grundtönen, wäre 12.


Grundtöne: 450 Hz; 600 Hz; 750 Hz und 900 Hz

450 Hz und 600 Hz haben den Obertöne 1800 Hz und 3600 Hz gemeinsam.
450 Hz und 750 Hz haben die Obertöne 4500 Hz und 2250 Hz gemeinsam.
450 Hz und 900 Hz haben die Obertöne 1800 Hz, 2700 Hz, 3600 Hz und 4500 Hz gemeinsam.
600 Hz und 750 Hz haben den Oberton 3000 Hz gemeinsam.
600 Hz und 900 Hz haben die Obertöne 1800 Hz und 3600 Hz gemeinsam.
750 Hz und 900 Hz haben den Oberton 4500 Hz gemeinsam.

Die Anzahl der gemeinsamen Obertöne, gezählt über alle Paare von zwei Grundtönen, wäre 12.

Ich hätte ja gerne erst einmal gewusst, ob ich mit diesen Tonleitern
überhaupt in den vorderen Rängen des Orchesters mitspielen darf!?

Liebe Grüße
Musagetes

[Neuling]

Hi Musagetes!

... aber kleiner als 900 Hertz.

Gruß Neuling

[Otmar]

@Musagetes,

Mehr ->

Die Töne haben Frequenzen f im Bereich 450 Hz <= f < 900 Hz. 900Hz als neuer Grundton wäre auch nicht üblich, da 900 Hz ja bereits erster Oberton von 450 Hz ist. D.h. stimmt noch nicht.

[Musagetes]

Hi!
@Neuling
@Otmar

Ihr habt natürlich Recht. Tut mir leid, das „kleiner“ habe ich überlesen.
Wenn ich nochmal Zeit finden sollte, werde ich meine Flöte hervorholen.

Liebe Grüße
Musagetes

[Neuling]

Mehr ->

Mein Gefühl sagt mir immer wieder, dass es nicht mehr als 9 gemeinsame Obertöne geben kann.