4 Ton Tonleiter

[Otmar]

@Neuling

Mehr ->

Mein Gefühl sagt mir immer wieder, dass es nicht mehr als 9 gemeinsame Obertöne geben kann.

Würde sagen, dass dein Gefühl einen falschen Tipp gibt. Das Rätsel wäre dann ja auch nicht eindeutig lösbar, denn die Grundtöne im Beispiel ganz oben könnte man ja mit einem Faktor a mit 450/455 <= a <= 4500/4095 multiplizieren und so weitere Lösungen erhalten.

Vielleicht hast du das Rätsel so interpretiert, dass 4500 Hz nicht als Oberton erlaubt ist?

Für die Grundtöne gilt < 900Hz und für die Obertöne <= 4500Hz.

[Neuling]

@ Otmar

Mehr ->

Ich habe es schon richtig interpretiert, aber ich finde bei meinen "Handversuchen" immer nur Lösungen mit maximal 9 gemeinsamen Obertönen.
z.B. auch diese 4 Töne : 450 506,25 675 810
Was habe ich nicht schon alles in Primfaktoren zerlegt, um daraus etwas zu schlussfolgern.

Und die Antwort hätte ja auch sein können, dass es zwar nur 9 gemeinsame Obertöne gibt, aber dazu mehrere Lösungen.

Was ich mache oder bis jetzt gemacht habe, ist ohne System und dabei finde ich eher weniger als 9 Obertöne.

Und was ich glaube herausgefunden zu haben:
Ein Ton kann mit einem anderen Ton maximal 3 gemeinsame Obertöne haben. Und hat man solch ein Paar, kann so ein Ton mit einem weiteren Ton nur noch 2 gemeinsame Obertöne haben.

Aber das muss nicht stimmen. Vielleicht habe ich nur noch nicht die richtigen Töne erwischt.

[Otmar]

Mehr ->

Das Rätsel ist schon so gemacht, dass es mit "Handversuchen" gelöst werden kann. Sonst hätte ich der Tonleiter auch ein paar mehr Töne gönnen können.

Mehr ->

In meinem ersten Tipp hatte ich den tiefsten Ton G mit 450Hz angesetzt und angeregt alle weiteren Grundtöne zu finden, die wenigstens einen Ton mit diesem gemeinsam haben. Diese haben die Frequenz G*r mit r = 3/2, 4/3, 5/4, 5/3, 6/5, 7/6, 7/5, 7/4, 8/7, 8/5, 9/8, 9/7, 9/5, 10/9 und 10/7. Davon sind jetzt noch 3 auszuwählen. Mit Hilfe einer Tabelle, die dreieckig befüllt die Anzahl der gemeinsamen Obertöne zwischen den 15 neuen Tönen enthält, kann man relativ einfach diejenigen wenigen Tripel finden, die paarweise wenigstens einen Oberton gemeinsam haben. Wenn man sich beim Ausfüllen der Tabelle ein paar Bedingungen für Zähler und Nenner der Brüche überlegt, kann man die Tabelle recht schnell von Hand erstellen.

[Musagetes]

Hallo Otmar,

ich hatte noch eine andere Tonleiter mit weniger Tönen in Petto.

Mit dieser, muss ich allerdings etwas in den hinteren Orchesterrängen verschwinden.

Mehr ->

Grundtöne: 450 Hz; 500 Hz; 600 Hz und 750 Hz

450 Hz und 500 Hz haben den Oberton 4500 Hz gemeinsam.
450 Hz und 600 Hz haben die Obertöne 1800 Hz und 3600 Hz gemeinsam.
450 Hz und 750 Hz haben die Obertöne 4500 Hz und 2250 Hz gemeinsam.
500 Hz und 600 Hz haben den Oberton 3000 Hz gemeinsam.
500 Hz und 750 Hz haben die Obertöne 1500 Hz, 3000 Hz und 4500 Hz gemeinsam.
600 Hz und 750 Hz haben den Oberton 3000 Hz gemeinsam.

Die Anzahl der gemeinsamen Obertöne, gezählt über alle Paare von zwei Grundtönen,
wäre somit zehn.

Ich hoffe, dass ich nun nicht wieder die falschen Töne getroffen habe.

Liebe Grüße
Musagetes

[Neuling]

Hallo Otmar!

Mehr ->

Grundtöne: 450 Hz; 500 Hz; 562,5 Hz und 750 Hz

450 Hz und 500 Hz haben den Oberton 4500 Hz gemeinsam.
450 Hz und 562,5 Hz haben die Obertöne 2250 Hz und 4500 Hz gemeinsam.
450 Hz und 750 Hz haben die Obertöne 2250 Hz und 4500 Hz gemeinsam.
500 Hz und 562,5 Hz haben den Oberton 4500 Hz gemeinsam.
500 Hz und 750 Hz haben die Obertöne 1500 Hz, 3000 Hz und 4500 Hz gemeinsam.
562,5 Hz und 750 Hz haben die Obertöne 2250 Hz und 4500 Hz gemeinsam.

Die Anzahl der gemeinsamen Obertöne, gezählt über alle Paare von zwei Grundtönen,
wäre somit elf.

Liebe Grüße, Neuling

[Musagetes]

Hi Neuling,

da warst du um ein paar Sekunden schneller,
diese Lösung hatte ich auch auf meinen Zettel.

Habe hier auch nochmal eine Tonleiter gefunden.

Mehr ->

Grundtöne: 450 Hz; 562,5 Hz; 675 Hz und 750 Hz

450 Hz und 562,5 Hz haben die Obertöne 2250 Hz und 4500 Hz gemeinsam.
450 Hz und 675 Hz haben die Obertöne 1350 Hz und 2700 Hz und 4050 Hz gemeinsam.
450 Hz und 750 Hz haben die Obertöne 2250 Hz und 4500 Hz gemeinsam.
562,5 Hz und 675 Hz haben den Oberton 3375 Hz gemeinsam.
562,5 Hz und 750 Hz haben die Obertöne 2250 Hz und 4500 Hz gemeinsam.

Die Anzahl der gemeinsamen Obertöne, gezählt über alle Paare von zwei Grundtönen,
wäre somit zehn.

Liebe Grüße
Musagetes

[Neuling]

Habe hier auch nochmal eine Tonleiter gefunden.

Mehr ->

Grundtöne: 450 Hz; 562,5 Hz; 675 Hz und 750 Hz

450 Hz und 562,5 Hz haben die Obertöne 2250 Hz und 4500 Hz gemeinsam.
450 Hz und 675 Hz haben die Obertöne 1350 Hz und 2700 Hz und 4050 Hz gemeinsam.
450 Hz und 750 Hz haben die Obertöne 2250 Hz und 4500 Hz gemeinsam.
562,5 Hz und 675 Hz haben den Oberton 3375 Hz gemeinsam.
562,5 Hz und 750 Hz haben die Obertöne 2250 Hz und 4500 Hz gemeinsam.

Die Anzahl der gemeinsamen Obertöne, gezählt über alle Paare von zwei Grundtönen,
wäre somit zehn.

denn

- Damit alles harmonisch klingt, sollen je zwei beliebige ausgewählte Grundtöne mindestens einen gemeinsamen Oberton haben.

[Otmar]

geht an Neuling.
Die Lösung ist richtig und es ist auch die einzige mögliche.

@Musagetes,
du warst kurz davor, aber Neuling war schneller am Ziel, hoffe es hat dir Spaß gemacht. Ich habe leider keine Flöte und kann die Töne nicht probieren, also die Probe, ob die Töne nicht nur mathematisch harmonisch zusammenpassen steht noch aus. Sollte es dir gelingen, diese mit der Flöte zu spielen, kannst du ja mal vom Klang berichten.